Þrepasönnun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Þrepasönnun eða þrepun er stærðfræðileg sönnunartækni sem notuð er til þess að sýna fram á að tiltekin fullyrðing sé sönn fyrir allar náttúrlegar tölur. Við þrepasönnun er notast við tvo grunneiginleika náttúrulegra talna:

  1. Sérhvert mengi náttúrulegra talna hefur minnsta stak
  2. Ef gefin yrðing P(n) er sönn fyrir eina tölu n er hún einnig sönn fyrir n+1.

Þrepasönnun er unnin í þremur skrefum:

  1. Sýna fram á að fullyrðingin standist fyrir n = 0
  2. Áætla að fullyrðingin sé sönn fyrir n = m
  3. Sýna fram á að það sama gildi fyrir n = m + 1

Gott er að líkja þessu við domino rallý. Ef að við sýnum fram á að fyrsti dominóinn detti, þá getum við áætlað að sá næsti muni falla, og þá getum við sýnt fram á að þeir muni allir detta.

Dæmi[breyta | breyta frumkóða]

Gerum ráð fyrir því að við viljum sanna yrðinguna:

fyrir allar náttúrlegar tölur n. Köllum rökyrðinguna , og getur hún skilað sönnu eða ósönnu gildi.

Sönnun[breyta | breyta frumkóða]

Skref 1[breyta | breyta frumkóða]

Sönnum að þetta gildi fyrir .

Þar sem að summa fyrstu 0 náttúrlegu talnanna er 0, og , telst þetta sannað.

P(0) = satt


Þó er umdeilt hvort 0 sé tekin með í mengi náttúrulegra talna en á sama hátt og ofan má sýna fram á að yrðingin gildir um .

Skref 2[breyta | breyta frumkóða]

Við áætlum nú að yrðingin sé sönn fyrir n = m, þ.e.

Skref 3[breyta | breyta frumkóða]

Ef að við leggjum við báðar hliðar fáum við:

Með algebrulegum umreikningi fæst:

þar af leiðir

sem er yrðingin fyrir . ATH að þetta hefur ekki verið sannað, heldur eingöngu hefur verið lögð fram fullyrðingin að P(m) = satt, og að þar af leiði að P(m+1) = satt. Við höfum með öðrum orðum sýnt fram á að yrðingin P(m+1) hljóti að standast ef að yrðingin P(m) stenst:

Við fáum niðurstöðu með því að sýna að þetta gildi fyrir allar náttúrlegar tölur n:

  1. Þar sem að P(0) er satt, gildir að P(1) sé einnig satt.
  2. Með P(1) leiðir P(2).
  3. ... o.s.frv.
þ.s.s.á.

Tenglar[breyta | breyta frumkóða]

  • „Hver er skilgreiningin á þrepasönnun?“. Vísindavefurinn.