Ferillengd

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Ferillengd er lengd ferils og er alltaf stærri en núll, en getur verið óendaleg.

Skilgreining[breyta]

Ferlillengd L er skilgreind með eftirfarandi ferilheildi:

 L := \int\limits_{ferill}^{} \mathrm{d}s,

þar sem ds táknar „óendanlega lítinn bút“ af ferlinum og ferilheildið er reiknað eftir ferlinum.

Dæmi[breyta]

Setjum að lýsa megi ferli í tvívíðri sléttu í með tvenndunum (x, y), þar sem x og y eru samfelld og deildanleg föll.

Stillum fyrst upp líkingunni fyrir „litla bútinn“ ds af ferlinum, þar sem við notum okkur reglu Pýþagórasar:

ds^2 = dx^2 + dy^2\, , sem gefur
ds = \sqrt{dx^2 + dy^2},\,

en neikvæða rótin kemur vitaskuld ekki til greina, því ferillengd er alltaf stærri en núll.

Til að reika ferilheildið þarf að stika föllin x og y, t.d. með x := x(t) og y := y(t). Deilum því næst með dt og umritum:

ds = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\, dt

þar sem yfirsettu punktarnir tákna fyrstu afleiður fallanna.

Innsetning gefur loks:

L=\int \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+f'(t)^2}\ dt,

þar sem notuð var stikunin x := t og y := f(t), en táknið ' merki fyrstu afleiðu fallsins f og ferillinn afmarkast af bilinu [a, b], þ.e. a ≤ t ≤ b.