Skoða frumkóða fyrir Pí

[[Mynd:Greek lc pi icon.svg|thumb|right|Litla π]]
{{Aðgreiningartengill}}
{{Réttur titill|π}}
{{tilvísun|Π}}

Talan '''π''' („pí“), er [[stærðfræðilegur fasti]]. Upphaflega [[Stærðfræðileg skilgreining|skilgreind]] sem [[hlutfall]]ið milli [[ummál]]s og [[þvermál]]s [[hringur (rúmfræði)|hrings]], en hún hefur núna margar aðrar jafngildar skilgreiningar og birtist í mörgum formúlum í öllum sviðum stærðfræði og eðlisfræði. Hún er u.þ.b. jöfn 3,14159 (í flestum útreikningum þarf ekki fleiri, eða mun fleiri aukastafi). Hún hefur verið táknuð með gríska stafnum „π“ síðan um miðja 19. öld, þó hún sé stundum skrifuð sem „'''pí'''“ á íslensku og lesin þannig eða t.d. á ensku „'''pi'''“ (lesið pæ, eins og e. pie). π er einnig þekkt sem ''fasti [[Arkímedes]]ar'' (sem ekki ætti að rugla við [[Tala Arkímedesar|Tölu Arkímedesar]]), ''fasti Ludolphs'' eða ''tala Ludolphs'' og kemur einnig mikið við sögu í [[eðlisfræði]] og [[stjörnufræði]].

Þar sem talan er [[óræð tala|óræð]], er ekki hægt að tákna hana sem [[almennt brot]] (sem þýðir að fjöldi aukastafa, þegar talan er skrifuð út með tölustöfum tekur engan enda, né myndast mynstur í þeim sem endurtekið er endalaust). Samt eru hlutföll s.s. 22/7 og aðrar ræðar tölur oft notaðar til að nálga π. Tölustafirnir virðast vera handahófskenndir. <!--In particular, the digit sequence of π is conjectured to satisfy a [[normal number|specific kind of statistical randomness]], but to date, no proof of this has been discovered.--> 

Talan π er líka [[torræð tala]].<!--; that is, it is not the root of any polynomial having rational coefficients. This transcendence of π implies that it is impossible to solve the ancient challenge of squaring the circle with a compass and straightedge.-->
<!--
Because its most elementary definition relates to the circle, π is found in many formulae in trigonometry and geometry, especially those concerning circles, ellipses, and spheres. In more modern mathematical analysis, the number is instead defined using the spectral properties of the real number system, as an eigenvalue or a period, without any reference to geometry. It appears therefore in areas of mathematics and the sciences having little to do with the geometry of circles, such as number theory and statistics, as well as in almost all areas of physics.
-->

Fólk hefur lagt á minnið og þulið upp yfir 70.000 tölustafi af π rétt.

== Grundvallaratriði ==
π er hefðbundið skilgreint sem hlutfall á milli ummál hrings og þvermáls. Það hlutfall er fasti óháð stærð hrings, en hins vegar er reiknað með flatri ([[Evklíðskt rúm|Evklíðskri]]) rúmfræði, sem er það sem flestir læra fyrst (eða eingöngu). Þ.e. þetta á ekki við í sveigðu ([[óevklíðsk rúmfræði|óevklíðsku]]) rúmi.
<!--
π is commonly defined as the ratio of a circle's circumference C to its diameter d:[9] 
[..]
The ratio C/d is constant, regardless of the circle's size. For example, if a circle has twice the diameter of another circle it will also have twice the circumference, preserving the ratio C/d. This definition of π implicitly makes use of flat (Euclidean) geometry; although the notion of a circle can be extended to any curved (non-Euclidean) geometry, these new circles will no longer satisfy the formula π = C/d.[9]
-->
Talan π er jöfn flatarmáli [[Einingarhringur|einingarhrings]] ([[Hringur (rúmfræði)|hringur]] með geisla 1), og er ennfremur jöfn hálfu ummáli hans.

Aðrar skilgreiningar á π eru ótengdar rúmfræði. Flest nútímarit skilgreina π á fágaðan máta með hornaföllum, t.d. sem minnsta mögulega jákvæða x þar sem sin(x) = 0, eða sem tvöfalt minnsta mögulega jákvæða x þar sem cos(x) = 0. Allar ofangreindu skilgreiningarnar eru jafngildar.

π kemur fyrir í stærðfræði t.d. í tengslum við prímtölur, [[Fourier–vörpun]] og [[Zetufall_Riemanns|Zetufall_Riemanns]], og í eðlisfræði kemur talan upp t.d. í óvissulögmáli Heisenbergs, þ.e. í [[skammtafræði]], en líka í annarri eðlisfræði.
<!--
"The fact that π is approximately equal to 3 plays a role in the relatively long lifetime of orthopositronium. The inverse lifetime to lowest order in the fine-structure constant α is[195]"

"Positronium in high energy states has been predicted to be the dominant form of atomic matter in the universe in the far future if proton decay occurs.[18]"
-->

== Saga π ==
Notkun táknsins „π“ fyrir tölu Arkímedesar kom fyrst fram árið [[1706]] þegar [[William Jones]] gaf út bókina ''[[A New Introduction to Mathematics]]'', þó að sama tákn hafi áður verið notað til þess að tákna ummál hrings. Táknið varð að staðli þegar [[Leonhard Euler]] tók það upp. Í báðum tilfellum er π fyrsti stafurinn í [[gríska]] orðinu περιμετροσ (perimetros), sem þýðir ummál.

=== Ágrip af sögu π ===
[[Mynd:Pi-unrolled-720.gif|360px|right|thumb|[[Ummál]] hrings með [[þvermál]]=1 er π.]]

Nálganir á π:

* Heiltölur: 3
* Brot: Nálgandi brot (í hækkandi röð eftir nákvæmni): 22/7, 333/106, 355/113, og 52163/16604.
<!--
Approximate fractions include (in order of increasing accuracy) 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, and 245850922/78256779.[30] (List is selected terms from OEIS: A063674 and OEIS: A063673.)
    Digits: The first 50 decimal digits are 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...[33] (see OEIS: A000796)
-->

Það tók yfirleitt mörg hundruð ár frá fyrsta rétt reiknaða aukastafnum yfir í að reikna þann næsta, t.d. yfir í 2 rétta, og svo yfir í 3, 5 og 7 (og margir reiknuðu marga ranga).

* 20. öld fyrir Krist: [[Babýlon]]íumenn nota <math>\pi = 3 \frac{1}{8}</math>.
* 20. öld fyrir Krist: [[Egyptaland|Egyptar]] nota <math>\pi = \left (\frac{16}{9} \right)^2</math>.
* 12. öld fyrir Krist: [[Kína|Kínverjar]] nota <math>\pi = 3</math>.
* 434 fyrir Krist: [[Anaxagóras]] reynir að búa til [[ferningur hrings|ferning hrings]] með [[reglustika|reglustiku]] og [[sirkill|sirkli]].
* 3. öld fyrir Krist: [[Arkímedes]] finnur út að <math>\frac{223}{71} \le \pi \le \frac{22}{7}</math>, og að <math>\pi \approx \frac {211875}{67441}</math>.
* 20 fyrir Krist: [[Vitrúvíus]] notar <math>\pi = \frac{25}{8}</math>.
* 2. öld: [[Ptolemaíos]] notar <math>\pi = \frac{377}{120}</math>.
* 3. öld: [[Chang Hong]] notar <math>\pi = \sqrt{10}</math>, [[Wang Fau]] notar <math>\pi = \frac{142}{45}</math>, og [[Liu Hui]] notar <math>\pi = \frac{471}{150}</math>.
* 5. öld: [[Zǔ Chōngzhī]] ákvarðar <math>3{,}1415926 \le \pi \le 3{,}1415927</math>.
* 6. öld: [[Aryabhata]] og [[Brahmagupta]] í [[Indland]]i nota <math>\frac{62832}{20000}</math> og <math>\pi \approx \sqrt{10}</math>.
* 9. öld: [[Al-Khwarizmi]] notast við <math>\pi = 3{,}1416</math>.
* [[1220]]: [[Fibonacci]] notar gildið <math>\pi = 3{,}141818</math>.
* [[1430]]: [[Al-Kashi]] reiknar 14 aukastafi <math>\pi</math>.
* [[1573]]: [[Valenthus Otho]] reiknar 6 aukastafi <math>\pi</math>.
* [[1593]]: [[François Vieta]] reiknar 9 aukastafi <math>\pi</math>, og [[Holland|Hollendingurinn]] [[Adriaen van Roomen]] reiknar 15 aukastafi.
* [[1596]]: [[Ludolph van Ceulen]] reiknar 35 aukastafi <math>\pi</math>.
* [[1665]]: [[Isaac Newton]] reiknar 16 aukastafi.
* [[1699]]: Sharp, 71 aukastafur.
* [[1700]]: [[Seki Kowa]], 10 aukastafir.
* [[1706]]: Machin, 100 aukastafir.
* [[1719]]: De Lagny reiknar 127 aukastafi, af þeim eru 112 réttir.
* [[1723]]: Takebe reiknar 41 aukastaf.
* [[1730]]: Kamata, 25 aukastafir.
* [[1734]]: [[Euler]] gerir táknið π vinsælt.
* [[1739]]: Matsunaga, 50 aukastafir.
* [[1761]]: [[Johann Heinrich Lambert]] sannar að <math>\pi</math> sé [[óræðar tölur|óræð tala]].
* [[1775]]: [[Euler]] bendir á möguleikann að <math>\pi</math> sé [[torræðar tölur|torræð tala]].
* [[1794]]: von Vega reiknar 140 aukastafi. Af þeim eru 136 réttir.
* [[1794]]: Adrien-Marie [[Legendre]] sýnir að bæði <math>\pi</math> og <math>\pi^2</math> séu óræðar tölur, og bendir á möguleikann að <math>\pi</math> sé torræð tala.
* [[1824]]: Rutherford reiknar 208 aukastafi, þar af eru 152 réttir.
* [[1844]]: Strassnitzky reiknar 200 aukastafi.
* [[1847]]: Thomas Clausen, 248 aukastafir.
* [[1853]]: Lehmann, 261 aukastafur.
* [[1853]]: Rutherford, 440 aukastafir.
* [[1855]]: Richter, 500 aukastafir.
* [[1874]]: Shanks, 707 aukastafir. Þar af eru 527 réttir.
* [[1882]]: [[Ferdinand Lindemann]] sýnir að pí sé torræð tala.

Pí með fyrstu 63 aukastöfunum (runa [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000796 A000796] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20010715152241/http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000796 |date=2001-07-15 }} í [[OEIS]]) er:

:3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Nú er hægt að reikna út eins marga aukastafi og maður vill (og minni tölva leyfir). Fólk hefur líka reynt að muna og sett heimsmet í að þylja upp aukastafi, 70 þúsund staðfest af Guinness sem heimsmet (en Akira Haraguchi hefur þulið upp 111.701 stafi).

G.W. Reitwiesner var fyrstur ásamt samstarfsmönnum að reikna 2037 aukastafi á 70 klukkutímum með [[ENIAC]]<nowiki/>-tölvunni árið 1949 (reiknaði líka yfir 2000 aukastafi af [[e (stærðfræðilegur fasti)|e]]), áður höfðu 1120 aukastafir verið reiknaðir með reiknivél. Það met hefur margoft verið slegið varðandi fjölda eða hraða, og sem dæmi má nefna að á [[π dagur|pí-daginn]] svokallaða (14. mars, ritað 3/14 í Ameríku) 2019 birti Emma Haruka Iwao hjá Google niðurstöðu um að metið hefði verið slegið enn á ný og 31.415.926.535.897 aukastafir reiknaðir sem tók 121 dag að reikna út á ofurtölvu. Ef aðeins er um milljónir aukastafa að ræða er hægt að reikna þá út á klukkutímum, var t.d. gert á 2,9 klukkutímum árið 1982 fyrir 4.194.288 aukastafi. Nú orðið ætti hefðbundin tölva eða t.d. farsími að geta reiknað þann fjölda aukastafa nokkuð hratt án þess að klára minni; hefðbundin PC tölva getur reiknað milljón aukastafi á undir 5 sekúndum.

Kurt Mahler sýndi fram á árið 1950 að π væri ekki Liouville-tala.

Í laginu „Pi“ á [[Kate Bush]]<nowiki/>-plötunni ''Aerial'' koma fram í textanum „3.1415926535 897932 3846 264 338 3279“.

== Tengt efni ==
* [[π dagur|π dagur, hátíðisdagur π]]

<!-- [[Flokkur:Rúmfræði]], á ekki við því π (líka) skilgreint án tensla við rúmfræði. Möguleigir aðrir flokkar:  "Complex analysis, Mathematical series, Real transcendental numbers".-->
[[Flokkur:Stærðfræði]]
[[Flokkur:Rauntölur]]
[[Flokkur:Pí]]