Notandi:Friðrik Bragi Dýrfjörð/Stærðfræðibull

Færsla á tímaeiningu

Að finna meðalhraða, finna hraða á ákveðnum tíma.

Saga

Uppruni hugmyndarinnar um markgildi má rekja til svokallaðrar tæmingaraðferðar sem m.a. Evklíð og Arkímedes notuðu til þess að sanna ýmsa eiginleika rúmfræðilegra hluta með sveigðan jaðar. Flatarmál hrings má til dæmis áætla með því að innrita hann með marghyrningum, til dæmis er flatarmál átthyrnings innritaður í hring með hornpunkta á jaðri hringsins nær flatarmáli hringsins en rétthyrningur innritaður í sama hring með hornpunktana á jaðri hringsins. Með því að fjölga hornum marghyrningsins sem innritaður er í hringnum má þannig fá æ nákvæmari nálgun á flatarmáli hringsins. Til þess að sýna að flatarmál hringsins gæti ekki verið minna en πr² gerður þeir ráð fyrir að radíus hringsins væri minni s<r og sýndu að það leiddi til mótsagnar. Sömuleiðis sýndu þeir fram á að flatarmál hrings gæti ekki verið stærra en πr² með því að umrita hring með marghyrningum og beita samskonar rökum. Þessi aðferð þarfnaðist þess vegna ekki hugtaksins óendanleiki og var raunar mun ítarlegri en aðferðir 17du aldar örsmæðareiknings.

Markgildi kom fyrst fram sem hugmynd í örsmæðareikningi Newtons og Leibniz á 17du öld, á henni voru töluverðir annmarkar. Newton fann til dæmis afleiður (sem hann nefndi fluxions) með því að hugsa sér að ef x² væri ferill gæti hann fundið breytingarhraða í punkti hans með því að hugsa sér að hann færi örsmæðarvegalengd o frá x, þannig að (x+o)² og þá x^2 + 2xo + o^2 og þá mismunur þess og x^2 2xo+o^2. Sem hlutfall af o er breytingarhraðin þá um 2x+o og ef o er nú látinn vera eins litla stærð og mögulegt er hverfur síðasti liðurinn og breytingarhraðinn er 2x. En eins og George Berkeley benti síðar á eru alvarlegir hnökrar á þess háttar röksemdafærslu þar sem í upphafi er í raun gert ráð fyrir að o sé jákvæð stærð og síðar að o sé núll (forsendurnar eru í mótsögn hvor við aðra). Engum samtímamanna Berkeley tókst að lagfæra þessa hnökra á hugmyndum Newton og Leibniz.

Euler: -1 = 1 + 2 + 4 +8 + 16

Euler: x + x^2 + ... = x/(1-x) og 1 + 1/x + 1/x^2 + ... = x/(x-1) samanlagðar eru núll

S = 1-1+1-1+1-1+... getur haft markgildið 0,1 eða hálfur allt eftir því í hvað röð stökin eru lögð saman.

Lagrange, Gauss, Cauchy, Weierstrass...