Sennileikametill

Í tölfræði er sennileikametill fall sem metur sennilegt gildi á tilteknum stika, gefið tiltekin gögn. Dæmi um algenga sennileikametla eru formúlur sem gefa meðaltal og staðalfrávik.

Formleg framsetning

Látum $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ vera úrtak úr líkindadreifingu $F_{\theta }$ sem er skilgreint upp að vigri óþekktra gilda, $\theta$. Þá er $f$ sennileikametill fyrir $\theta$ og mat okkar á gildi þess, ${\hat {\theta }}$ er ${\hat {\theta }}=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$.

Dæmi

Látum $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ vera mælingar af fjölda mínútna sem viðskiptavinir veitingahúss þurfa að bíða eftir matnum sínum frá því að þeir panta hann. Við getum gert ráð fyrir því að gögnin séu Poissondreifð, $x_{n}\sim \mathrm {Poi} (\lambda )$ en við vitum ekki hver stikinn $\lambda$ er.

Við viljum því smíða sennileikametil fyrir $\lambda$. Við vitum að dreififall Poisson dreifingar er

${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$, með $k\in \mathbb {N} _{0}$

Í raunverulegu veitingahúsi væru $x_{1},...,x_{n}$ háðar hvor annarri að einhverju leyti, vegna þess að sami kokkurinn þarf að sinna þeim öllum og fleiri pantanir á stuttum leiða af sér lengri biðtíma yfir heildina. En hér gerum við ráð fyrir fullkomnu veitingahúsi þar sem $x_{1},...,x_{n}$ eru óháðar. Þá er samdreififall mælinganna:

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

$=f(x_{1})f(x_{2})\cdots f(x_{n})$

$=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda _{i}^{x}}{x_{i}!}}$

$={\frac {e^{-n\lambda }\lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}$

Nú tökum við lógrann af þessu falli:

$\log \left({\frac {e^{-n\lambda }\lambda ^{\sum _{i=0}^{n}x_{i}}}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\right)$

$-n\lambda \log(\lambda )\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}x_{i}!$

Og svo deildum við það með tilliti til óþekkta stikans $\lambda$:

${\frac {d}{d\lambda }}-n\lambda \log(\lambda )\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}x_{i}!$

$=-{\frac {n}{\lambda }}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)$

Nú stillum við afleiðuna sem 0 til að hámarka hana:

$0=-{\frac {n}{\lambda }}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)$

$=...$