Grúpa

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Grúpa er mengi sem gefið er ákveðna formgerð. Grúpur dúkka upp víða í stærðfræði og geta lýst eiginleikum flókinna hluta á einfaldan hátt og þannig hjálpað stærðfræðingum að ráða við viðfangsefni sitt. Þetta á t.d. við um Grannfræði,Talningarfræði og Stærðfræðigreiningu.

[breyta] Skilgreining

Mengi G ásamt tvíundaraðgerð *, kallast grúpa ef (G,*) uppfyllir eftirfarandi skilyrði.

Tengiregla

Fyrir öll a,b og c í G þá gildir að (a * b) * c = a * (b * c)

Hlutleysa

Til er stak e þannig að fyrir öll stök a í G gildir að a*e = e*a = a

Andhverfa

Fyrir gefið stak a í G er til stak b í G þannig að a*b=b*a=e.

Í mörgum kennslubókum um grúpufræði er tekið fram að tvíundaraðgerðin er lokuð með tilliti til þessarar aðgerðar, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að til er c í G þ.a. a*b = c. Hinsvegar er oftast innifalið í skilgreiningunni á tvíundaraðgerð að hún sé lokuð. Ef aðgerðin er víxlin, þ.e. fyrir öll a,b í G gildir að a*b=b*a, þá kallast grúpa víxlgrúpa eða Abel-grúpa, til heiðurs Niels Henrid Abel.