Cauchy-Schwarz ójafnan

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Cauchy-Schwarz ójafnan (stundum aðeins nefnd ójafna Schwarz) er ójafna í stærðfræði, kennd við Augustin Louis Cauchy og Hermann Schwarz. Gildir um tvo vigra og segir að margfeldi summu ferninga liða hvors vigurs sé stærra eða jafnt ferningi af summu margfelda liða vigranna.

Dæmi um framsetningu:

Ef x_1,\cdots, x_n\ og y_1,\cdots, y_n\ eru liðir (geta einnig verið tvinntölur) tveggja vigra x og y þá gildir:

|\overline{x_1} y_1 + \cdots + \overline{x_n} y_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).

Má einnig setja fram með innfeldum:

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,

eða með stöðlum, sem fæst þegar dregin er ferningsrót af ójöfnunni hér að ofan:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,

Heildisframsetning ójöfnunnar er:


\left| \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx \right|^2 \leq \int_{a}^{b} |f(x)|^2\, dx \int_{a}^{b} |g(x)|^2\,dx.