Staðall (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, þ.e. ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.

Algengir staðlar vigurrúma[breyta]

\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

er algengasti staðallinni í Rn. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

  • 1-staðllinn
\|\mathbf{x}\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.
  • p-staðallinn
\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

  • Óendanlegi staðallinn
\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

Línlegar varpanir[breyta]

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:

\|A\mathbf{x}\|.

Eiginleikar staðla[breyta]

Tveir staðlar ||•||α og ||•||β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

C\|\mathbf{x}\|_\alpha\leq\|\mathbf{x}\|_\beta\leq D\|\mathbf{x}\|_\alpha

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru l_1, l_2 og l_\infty staðlarnir jafngildir í \mathbb{R}^n:

\|\mathbf{x}\|_2\le\|\mathbf{x}\|_1\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2
\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_2\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty
\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_1\le n\|\mathbf{x}\|_\infty

Tengt efni[breyta]