Regla l'Hôpitals

Regla l'Hôpitals (l'Hospitals) (borið fram Lóbí-TAL) er stærðfræðiregla, sem fæst við að reikna markgildi ræðra falla, sem eru óákvarðanleg (e. indeterminate) á þann hátt, að bæði teljari og nefnari brotsins stefna á núll eða þá að nefnari þess stefnir á óendanlegt. Þannig stefnir brotið annað hvort á $0 \over 0$ eða $L \over \infty$ þar sem $L$ er rauntala eða óendanlegt. Í slíkum tilvikum segir reglan að markgildi brotsins haldist óbreytt við það að diffra teljarann og nefnarann hvorn fyrir sig, að því gefnu að markgildi nýja brotsins sé til. Á táknmáli stærðfræðinnar lítur reglan þannig út:

Ef $c$ er rauntala eða $\pm \infty$ og

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$   eða   $\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty \;$

þá er

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}$

að því gefnu að $f$ og $g$ séu bæði diffranleg í grennd um $c$ og að markgildi $f'/g'$ sé til.

Til þess að athuga hvort $\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}$ sé til getum við endurtekið reglu l'Hôpitals á brotið $f'/g'$ ef það uppfyllir áðurnefnd skilyrði reglunnar.Svona getum við haldið áfram. Ef á endanum fæst markgildi sem er til er það hið sama og markgildi upprunalega brotsins. Ef markgildið er hins vegar ekki til var ekki hægt að nota reglu l'Hôpitals til að byrja með og við erum engu nær hvort $f/g$ eigi sér markgildi eða ekki.

Sýnidæmi

• Skoðum $\lim _{x\to 0}{\sin(x) \over x}$. Hér er $\lim _{x\to 0}\sin(x)=0$ og $\lim _{x\to 0}x=0$, svo við höfum 0/0 tilfelli.

Þar sem $\sin(x)$ og $x$ eru bæði diffranleg í 0 segir reglan okkur að $\lim _{x\to 0}{\sin(x) \over x}=\lim _{x\to 0}{\cos(x) \over 1}={1 \over 1}=1$ og þar sem seinna markgildið er til gildir það jafnframt um það fyrra.

• Lítum á $\lim _{x\to \infty }{x^{2} \over x+1}$. Nefnarinn stefnir á $+\infty$ svo við reynum að nota reglu l'Hôpitals. Hún gefur okkur að

$\lim _{x\to \infty }{x^{2} \over x+1}=\lim _{x\to \infty }{2x \over 1}=+\infty$ svo upprunanlega fallið stefnir jafnframt á $+\infty$.

• Hér er dæmi um fall þar sem endurtekinnar beitingar reglunnar er þörf.

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-\sin(x)-1 \over x^{2}+\sin(x)-x}$ (0/0 tilfelli)

$=\lim _{x\to 0}{e^{x}-\cos(x) \over 2x+\cos(x)-1}$ (0/0 tilfelli)

$=\lim _{x\to 0}{e^{x}+\sin(x) \over 2-\sin(x)}$

$={1 \over 2}$

• Í eftirfarandi dæmi segir regla l'Hôpital okkur ekkert. Skoðum

$\lim _{x\to \infty }{x-\sin(x) \over x}$. Nefnarinn stefnir á $+\infty$ svo við fáum $\lim _{x\to \infty }{x-\sin(x) \over x}=\lim _{x\to \infty }{1-\cos(x) \over 1}$ ef seinna markgildið er til. En það er ekki til því $\cos(x)$ á sér ekkert markgildi í óendanlegu. Regla l'Hôpitals var því ekki réttlætt hér, og við verðum að ráðast á upprunalega markgildið öðruvísi.

Reyndar sjáum við að

$\lim _{x\to \infty }{x-\sin(x) \over x}=\lim _{x\to \infty }1-{\sin(x) \over x}=1$

þar sem síðasta jafnaðarmerkið er réttlætt með klemmureglu. Upprunalega fallið á sér sem sagt markgildi, þótt regla l'Hôpital hafi ekki getað ákvarðað það.

• Athugum nú tilfelli þar sem blind notkun reglu l'Hôpital leiðir okkur í ógöngur.

Skoðum $\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over e^{2x}}$. Við sjáum strax að $\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over e^{2x}}=\lim _{x\to \infty }e^{x-2x}=\lim _{x\to \infty }e^{-x}=0$. Með endurtekinni beitingu á reglu l'Hôpital fáum við hins vegar

$\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over e^{2x}}=\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over 2e^{2x}}=\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over 4e^{2x}}=\cdots =\lim _{x\to \infty }{e^{x} \over 2^{n}e^{2x}}.$

Í mörgum tilfellum er betra að nota reglu Taylors til að finna markgildi.

Saga reglunnar

Þessi regla er nefnd eftir franska 17. aldar stærðfræðingnum Guillaume François Antoine de l'Hôpital (1661 - 1704), vegna þess að hún birtist fyrst í bók hans, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), en það var fyrsta kennslubókin sem skrifuð var um stærðfræðigreiningu. Regluna hafði hann hins vegar fengið frá Johann Bernoulli.