Pascal-þríhyrningur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Pascal-þríhyrningur[1] eða þríhyrningur Pascals[1] er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem einkenni Pascals(en):

{n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}.

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

Pascal triangle.png

Eiginleikar Pascal þríhyrningsins[breyta]

Ellefu-veldið[breyta]

Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

11^0 = 1
11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
11^4 = 14641

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - 11^5 \ne 15101051, augljóslega, heldur 11^5 = 161051. Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

Einkenni Vandermondes[breyta]

Lát m, n, r \in \mathbb{N}; r < n; r < m. Þá gildir:

{m+n \choose r} = \sum^r_{k=0} {m \choose r-k}{n \choose k}.

Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

Tvíliðureglan[breyta]

Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er (a+b)^4 = (1)a^4 + (4)a^3b + (6)a^2b^2 + (4)ab^3 + (1)b^4, en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar (a+b)^0).

Fibbonacci runan[breyta]

Fibonacciruna kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Fibbonacci runan í Pascal þríhyrningnum.

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

Sönnun á einkenni Pascals[breyta]

Ímyndum okkur að til sé mengi T sem hefur n+1 stak. Lát a vera stak í T og lát S = T \setminus \left\{a\right\}. Sjáum að til eru {n+1 \choose k} hlutmengi í T sem innihalda k stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í T með k stökum ýmist a, ásamt k-1 öðrum stökum úr S, eða það inniheldur k stök úr S en ekki a. Þar sem að það eru {n \choose k-1} hlutmengi af k-1 staki úr S, þá eru til {n \choose k-1} hlutmengi með k stökum úr T sem innihalda a. Auk þess eru {n \choose k} hlutmengi af T með k stökum sem innhalda ekki a, þar sem að það eru {n \choose k} hlutmengi af S með k stökum. Þar af leiðir:

{n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}.
\Box (Fléttufræðileg sönnun).

Tengt efni[breyta]

Heimildir[breyta]

  1. 1,0 1,1 [1]