Pascal-þríhyrningur

Pascal-þríhyrningur eða þríhyrningur Pascals er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem einkenni Pascals^(en):

^{${n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}$.}

^{Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:}

^{Eiginleikar Pascal þríhyrningsins}

^{Ellefu-veldið}

^{Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:}

^{$11^0 = 1$}

^{$11^1 = 11$}

^{$11^2 = 121$}

^{$11^3 = 1331$}

^{$11^4 = 14641$}

^{Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - $11^5 \ne 15101051$, augljóslega, heldur $11^5 = 161051$. Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.}

^{Einkenni Vandermondes}

^{Lát $m, n, r \in \mathbb{N}; r < n; r < m$. Þá gildir:}

^{${m+n \choose r} = \sum^r_{k=0} {m \choose r-k}{n \choose k}$.}

^{Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.}

^{Tvíliðureglan}

^{Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er $(a+b)^4 = (1)a^4 + (4)a^3b + (6)a^2b^2 + (4)ab^3 + (1)b^4$, en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar $(a+b)^0$).}

^{Fibbonacci runan}

^{Fibonacciruna kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:}

^{Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.}

^{Sönnun á einkenni Pascals}

^{Ímyndum okkur að til sé mengi $T$ sem hefur $n+1$ stak. Lát $a$ vera stak í $T$ og lát $S = T \setminus \left\{a\right\}$. Sjáum að til eru ${n+1 \choose k}$ hlutmengi í $T$ sem innihalda $k$ stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í $T$ með $k$ stökum ýmist $a$, ásamt $k-1$ öðrum stökum úr $S$, eða það inniheldur $k$ stök úr $S$ en ekki $a$. Þar sem að það eru ${n \choose k-1}$ hlutmengi af $k-1$ staki úr $S$, þá eru til ${n \choose k-1}$ hlutmengi með $k$ stökum úr $T$ sem innihalda $a$. Auk þess eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $T$ með $k$ stökum sem innhalda ekki $a$, þar sem að það eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $S$ með $k$ stökum. Þar af leiðir:}

^{${n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}$.}

^{$\Box$ (Fléttufræðileg sönnun).}

^{Tengt efni}

• ^{Blaise Pascal}
• ^Samantektir
• ^{Tvíliðureglan}