Fibonacciruna

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fibonaccirunan er talnaruna, sem fæst þannig að næsti liður rununnar er summa tveggja fyrri liða, en tveir fyrstu liðirnir eru talan einn. Tíu fyrstu liðirnir eru því: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 og 55. Eignuð stærðfræðingnum Leonardo Pisano. Runan svarar því hve mörg kanínupör eru til staðar á hverjum tíma, ef í upphafi er eitt par, sem í hverjum mánuði eignast eitt kanínupar, sem eftir mánuð eignast nýtt kanínupar og svo framvegis án þess að nokkru sinni deyi kanína. Leonardo leggur fram dæmið í bók sinni, Liber abaci, sem kom út árið 1202.

[breyta] Formleg skilgreining

Fibonaccitölur má skilgreina formlega með endurkvæmni (ítrekun) svona:

[breyta] Fibonaccitölur í náttúrunni

Fibonaccitölur koma víða fyrir í náttúrunni. Kanínu dæmið er oft nefnt í sambandi við Fibonaccitölur. Gefum okkur að við höfum kanínupar, sem sé 1 mánuð að verða kynþroska en eftir það eignast það annað kanínupar í hverjum mánuði. Ef við byrjum með 1 par þá erum við enn þá með 1 par eftir fyrsta tímabilið. Eftir næsta tímabil eignast það annað par (sem eignast ekki afkvæmi fyrr en eftir tvö tímabil) og þá erum við komin með 2 pör. Eftir þriðja tímabilið bætist við eitt nýtt par og við höfum þá 3 pör. Eftir eitt ár í viðbót eignast þau 2 pör sem voru til fyrir tveimur mánuðum (tímabilum) hvort sitt parið og þá höfum við 5 pör. Þetta gengur þannig fyrir sig að á hverju ári eykst fjöldi kanínupara um þann fjölda sem var til staðar fyrir 2ur mánuðum. Fjöldi blaða á blómum er til dæmis oft fibonaccitala.

[breyta] Tengsl við gullinsnið

Ef mynduð er runa úr hlutföllum hverra tveggja samliggjandi Fibonaccitalna, þá hefur sú runa markgildið 1,618.. sem kallast gullinsnið. Fyrstu tölurnar í þeirri runu eru 1; 2; 1.5; 1,667; 1,600; 1,625 o.s.frv.