Gullinsnið

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Gullinsnið er hlutfall á milli tveggja stærða. Þar verður hlutfallið á milli summu beggja stærðana og þeirrar stærri að vera það sama og hlutfallið á milli beggja stærðana. Þetta hlutfall þykir einstaklega fallegt og er oftast táknað með gríska stafnum φ (Fí) sem er fyrsti stafurinn í nafni gríska myndhöggvarans og stærðfræðingsins Feidíasar sem byggði höggmyndir sínar á gullinsniði um 500 árum fyrir Krist. Í stærðfræði og listum er oft talað um gullinsnið.

Gullinsniði má lýsa með algebrulegum hætti:

þar sem gildir

Myndrænt má lýsa gullinsniði þannig að ef línu (a+b) er skipt í tvo hluta (a og b) og hlutfall lengri hlutans (a) á móti styttri hlutanum (b) er það sama og hlutfall línunar allrar (a+b) á móti stærri hlutanum (a). Þá höfum við hlutfall sem kallað er gullinsnið

[breyta] Útreikningar

Tvær jákvæðar stærðir a og b eru sagðar vera í gullinsniði ef

Þessi jafna skilgreinir φ með ótvíræðum hætti.

Hægri hlið jöfnunnar sýnir að a = bφ,sem með innsetningu í vinstri hlið jöfnunnar gefur

Deilum í gegnum jöfnuna með b og fáum

Margföldum nú báðar hliðar með φ og umröðum liðunum, og fáum annars stigs jöfnuna:

φ² − φ − 1 = 0

Eina jákvæða lausnin á þessari annars stigs jöfnu er

Hlutfall tveggja aðliggjandi Fibonaccitalna F nálgast gullinsnið, þ.e. F_n+1/F_n → φ, þegar n vex.

[breyta] Heimildir

• Greinin „Golden ratio“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 16. febrúar 2008.