Gullinsnið

Gullinsnið er ákveðið hlutfall tveggja talna, þ.a. hlutfallið milli summu stærðanna og stærri tölunnar er jafnt hlutfallinu milli stærðana. Þetta hlutfall þykir einstaklega fallegt og er oftast táknað með gríska bókstafnum $\phi$ (Fí) sem er fyrsti stafurinn í nafni gríska myndhöggvarans og stærðfræðingsins Feidíasar, sem byggði höggmyndir sínar á gullinsniði um 500 árum f.Kr. Í stærðfræði og listum er oft talað um gullinsnið.

Gullinsniði má lýsa með algebrulegum hætti:

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi$

þar sem gildir

$\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.6180339887...$

Myndrænt má lýsa gullinsniði þannig að ef línu (a+b) er skipt í tvo hluta (a og b) og hlutfall lengri hlutans (a) á móti styttri hlutanum (b) er það sama og hlutfall línunar allrar (a+b) á móti stærri hlutanum (a). Þá höfum við hlutfall sem kallað er gullinsnið

Útreikningar

Tvær jákvæðar stærðir $a$ og $b$ eru sagðar vera í gullinsniði ef

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi$

Þessi jafna skilgreinir $\phi$ með ótvíræðum hætti.

Hægri hlið jöfnunnar sýnir að $a=b\phi$,sem með innsetningu í vinstri hlið jöfnunnar gefur

$\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}$

Deilum í gegnum jöfnuna með $b$ og fáum

$\frac{\phi+1}{\phi}=\phi$

Margföldum nú báðar hliðar með $\phi$ og umröðum liðunum, og fáum annars stigs jöfnuna:

$\phi^2-\phi-1=0$

Eina jákvæða lausnin á þessari annars stigs jöfnu er

$\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.6180339887...$

Hlutfall tveggja samliggjandi Fibonaccitalna nálgast gullinsnið, þ.e. F_n+1/F_n → φ, þegar n vex.

Heimildir

• Fyrirmynd greinarinnar var „Golden ratio“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 16. febrúar 2008.

Tenglar

• Gullsniðið kemur fyrst fyrir hjá Forn-Grikkjum; grein í Lesbók Morgunblaðsins 1979