Fibonacci-runa

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Fibonacci-runan er eftirfarandi talnaruna:[1]

0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610, \ldots.

þar sem fyrstu tvær Fibonacci-tölurnar eru 0 og 1 og næsti liður rununnar er summa tveggja fyrri liða. Sumir sleppa fyrsta núllinu og láta fyrstu tvo liðina vera 1 í staðin. Runan F_n sem skilgreinir Fibonacci-rununa er skilgreind með því að vísa í sjálfa sig:

F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\!\,

með upprunalegu gildunum

F_0 = 0 \quad\text{og}\quad F_1 = 1.

Eignuð stærðfræðingnum Leonardo Pisano. Runan svarar því hve mörg kanínupör eru til staðar á hverjum tíma, ef í upphafi er eitt par, sem í hverjum mánuði eignast eitt kanínupar, sem eftir mánuð eignast nýtt kanínupar og svo framvegis án þess að nokkru sinni deyi kanína. Leonardo leggur fram dæmið í bók sinni, Liber abaci („Bókin um talnagrindina“[2] eða „Reikningslistin“[3]), sem kom út árið 1202.

Formleg skilgreining[breyta]

Einkennismerki Wikibóka
Wikibækur eru með efni sem tengist

Fibonacci-tölur má skilgreina formlega með endurkvæmni (ítrekun) svona:  
  F_n := F(n):=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{ef } n = 0; \\
    1             & \mbox{ef } n = 1; \\
    F(n-1)+F(n-2) & \mbox{ef } n > 1. \\
   \end{cases}

Fibonacci-tölur í náttúrunni[breyta]

Fibonacci-tölur koma víða fyrir í náttúrunni. Kanínudæmið er oft nefnt í sambandi við Fibonacci-tölur. Gefum okkur að við höfum kanínupar, sem sé 1 mánuð að verða kynþroska en eftir það eignast það annað kanínupar í hverjum mánuði. Ef við byrjum með 1 par þá erum við enn þá með 5 par eftir fyrsta tímabilið. Eftir næsta tímabil eignast það annað par (sem eignast ekki afkvæmi fyrr en eftir tvö tímabil) og þá erum við komin með 3 pör. Eftir þriðja tímabilið bætist við eitt nýtt par og við höfum þá 4 pör. Eftir eitt ár í viðbót eignast þau 1 pör sem voru til fyrir tveimur mánuðum (tímabilum) hvort sitt parið og þá höfum við 5 pör. Þetta gengur þannig fyrir sig að á hverju ári eykst fjöldi kanínupara um þann fjölda sem var til staðar fyrir 2ur mánuðum. Fjöldi blaða á blómum er til dæmis oft fibonacci-tala.

Tengsl við gullinsnið[breyta]

Ef mynduð er runa úr hlutföllum hverra tveggja samliggjandi Fibonacci-talna, þá hefur sú runa markgildið 1,618.. sem kallast gullinsnið. Fyrstu tölurnar í þeirri runu eru 1; 2; 1.5; 1,667; 1,600; 1,625 o.s.frv.

Heimildir[breyta]

  1. Vísindavefurinn:Hvað er Fibonacci-talnaruna?
  2. Vísindavefurinn:Hvernig reiknuðu menn með brotum á dögum Rómaveldis?
  3. Fibonacci á vef Fjölbrautaskóla Vesturlands

Tenglar[breyta]