Þrepun

Þrepun eða stærðfræðileg þrepun er stærðfræðileg lausnaraðferð sem miðar að því að sanna að eitthvað gefið einkenni eigi við allar tölur í $N$, þ.e. mengi náttúrulegra talna. Þrepunaraðferðin notast við tvo grunneiginleika náttúrulegra talna:

1. Öll hlutmengi í $N$ hafa minnsta stak.
2. Ef fullyrðingin $P(n)$ gildir um náttúrulegu töluna $n$ gildir hún líka um $n + 1$.

Þannig má sýna fram á ýmsa eiginleika náttúrulegra talna með því að sýna fyrst fram á að eiginleikinn gildi um minnsta stakið 1 og sýna síðan að gildi eiginleikinn um einhverja tölu $n$, sem er kallað þrepunarforsenda, gildir hann líka um $n + 1$.

Dæmi: Sýna á að $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$ fyrir allar tölur náttúrulegar tölur $n$.

Lausn: Við notum aðferðina sem lýst er í efnisgreininni að ofan. Athugum að:

1. Fullyrðingin gildir augljóslega um $n=1$.
2. Gerum nú ráð fyrir að fullyrðingin gildi um $n$ (þrepunarforsenda). Þá fæst:

$\ 1+2+3+...+n+(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

$= \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$

$= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

Við höfum þá sýnt að fullyrðingin gildir um allar náttúrulegar tölur $n$.