Þrepun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Þrepun[1] eða stærðfræðileg þrepun[1] er stærðfræðileg lausnaraðferð sem miðar að því að sanna að eitthvað gefið einkenni eigi við allar tölur í N, þ.e. mengi náttúrulegra talna. Þrepunaraðferðin notast við tvo grunneiginleika náttúrulegra talna:

  1. Öll hlutmengi í N hafa minnsta stak.
  2. Ef fullyrðingin P(n) gildir um náttúrulegu töluna n gildir hún líka um  n + 1 .

Þannig má sýna fram á ýmsa eiginleika náttúrulegra talna með því að sýna fyrst fram á að eiginleikinn gildi um minnsta stakið 1 og sýna síðan að gildi eiginleikinn um einhverja tölu n, sem er kallað þrepunarforsenda, gildir hann líka um n + 1.


Dæmi: Sýna á að 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2} fyrir allar tölur náttúrulegar tölur n.

Lausn: Við notum aðferðina sem lýst er í efnisgreininni að ofan. Athugum að:

  1. Fullyrðingin gildir augljóslega um n=1.
  2. Gerum nú ráð fyrir að fullyrðingin gildi um n (þrepunarforsenda). Þá fæst:
 \ 1+2+3+...+n+(n+1)
 = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)
 = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}
 = \frac{(n+1)(n+2)}{2} .

Við höfum þá sýnt að fullyrðingin gildir um allar náttúrulegar tölur n.

Heimildir[breyta]

  1. 1,0 1,1 Orðið „mathematical induction“ í Stærðfræðiorðasafninu