Saga stærðfræðinnar

Sönnun úr Frumatriðum Evklíðs rituð um 300 fyrir Krists sem er eitt af öndvegisritum mannkynssögunnar.

Saga stærðfræðinnar fjallar um uppruna og þróun hugmynda í stærðfræði og stærðfræðiaðferðir og táknmál fortíðarinnar.

Í fornríkjum Mesapótamíu beittu menn reikning, algebru og rúmfræði til skattlagningar, í viðskiptum og stjörnufræði, til að skrá tíma og búa til dagatöl. Þaðan eru elstu rituðu heimildir um stærðfræðilegar aðferðir. Í Grikklandi til forna urðu stærðfræðilegar aðferðir formlegri þegar menn hófu að beita afleiðslu og stærðfræðilegri rökfestu til að sanna hinar ýmsu setningar og útvíkkuðu viðfangsefnið. Rómverjar hagnýttu stærðfræðilegar aðferðir til landmælinga, í byggingar- og vélaverkfræði, bókhaldi og við gerð tungl- og sólardagatala. Í Kína til forna þekktist notkun sætiskerfis og neikvæðar tölur. Indó-arabíska talnakerfið og reikniaðferðir þess, sem eru í notkun um allan heim í dag, þróuðust á fyrsta árþúsundinu e.Kr. á Indlandi og bárust til Vesturlanda með arabískri stærðfræði fyrir tilstilli verka al-Khwarizmi. Mörg grísk rit og hugmyndir varðveittust meðal íslamskra þjóða sem héldu áfram vexti og viðgangi þeirra. Samtímis en óháð þessum hefðum var stærðfræði þróuð meðal Maja í Mexíkó og Mið-Ameríku, þar sem hugtakið núll fékk staðlað tákn í tölukerfi þeirra.

Mörgum grískum og arabískum ritum var snúið yfir á latínu á 12. öld eftir Krist sem leiddi til frekari þróunar í stærðfræði á miðöldum í Evrópu. Frá fornöld og í gegnum miðaldir voru nokkur aldalöng stöðnunartímabil þar sem lítil stærðfræðileg þekking safnaðist.

Á endurreisnartíma Ítalíu á 15. öld urðu töluverðar framfarir, í samspili við nýjar vísindalegar uppgötvanir, og hefur sú þróun haldið áfram til dagsins í dag. Má þar nefna örsmæðareikning Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz og aðrar merkar uppgötvanir þýskra stærðfræðinga eins og Carl Friedrich Gauss og David Hilbert.

Forsögulegt tímabil

Neanderdalsmenn brúkuðu garn fyrir um 40.000 árum á staðnum Abri du Maras í suðurhluta Frakklands sem þykir benda til þess að þeir hafi þekkt til grundvallarhugtaka í stærðfræði. Ishango-beinið, sem fannst nálægt upptökum Nílar (í norðausturhluta Kongó), gæti verið meira en 20.000 ára gamalt, í það eru grafnar rákir í þrem dálkum eftir því endilöngu. Hafa menn getið sér til að um sé að ræða talningarkefli sem sýni skilning á tugakerfinu, margföldun (með tveimur) og frumtölum eða að um sé að ræða tungldagatal. Peter Rudman telur fyrri túlkunina ólíklega þar sem hugmyndin um frumtölur geti aðeins komið til á eftir hugmyndinni um deilingu sem hann telur ekki vera eldri en 10.000 fyrir Krist og að frumtölur hafi ekki komið til sögunnar fyrr en um 500 fyrir Krist.

Egyptar fyrir tíma fyrstu konungsættarinnar virðast hafa skilning á rúmfræði ef marka má myndir frá þeim tíma. Því hefur verið haldið fram að risasteinar í Englandi og Skotlandi, sem eru frá 3. árþúsundi f.Kr., feli í sér rúmfræðilegar hugmyndir eins og hringi, sporöskjur og þrenndir Pýþagórasar í hönnun sinni. Allt ofangreint er þó umdeilt en elstu óumdeildu heimildirnar eru frá Babýlón og Egyptalandi hinu forna.

Babýlónía

Elstu rituðu heimildir eru frá Mesapótamíu (þar sem nú er Írak) og þaðan eru líka einar elstu heimildir um stærðfræðiaðferðir og þekkingu, hún er gjarnan kennd við Babýlón og nefnd babýlónsk stærðfræði. Stundum er gerður greinarmunur á mesapótamískri stærðfræði, sem nær yfir allt tímabilið 3200 f. Kr. til 125 f. Kr., og babýlónskri stærðfræði sem vísar þá til tímabilsins 1850-1600 f. Kr. í kringum valdatíð Hammúrabí. Meirihluti ritaðra heimilda kemur annars vegar á tímum babýlónskrar stærðfræði (miðað við þrengri skilgreininguna) og hins vegar undir lok konungsveldi Selevkída. Víðari skilgreiningin á babýlónskri stærðfræði er gjarnan notuð til að undirstrika mikilvægi Babýlónborgar sem fræðiseturs. Svæðið varð aftur miðstöð rannsókna á sviði stærðfræði á gullöld Íslam, þá sérstaklega í Bagdad.

Rúmfræðidæmi á leirtöfl sem tilheyrði skóla fyrir skrifara, um það bil 2000-1500 f. Kr.

Ólíkt þeim fáu heimildum sem til eru um stærðfræði Egypta, er þekking okkar á babýlónskri stærðfræði fengin frá meira en 400 leirtöflum sem grafnar hafa verið upp síðan á sjötta áratug 19. aldar. Töflurnar voru ritaðar með fleygrúnaletri á blautar leirplötur og síðan bakaðar þar til þær urðu harðar, annað hvort í ofni eða í sólarhita. Sumar þessara taflna virðast vera heimaverkefni.

	Ég fann stein, en vó ekki; ég tók af einn-sjöunda, lagði við einn-ellefta og dróg frá einn-þrettánda, (þá) vó ég (hann): $1$ ma-na. Hvað var steinnin í upphafi? Hann vó $1$ ma-na, $9{\frac {1}{2}}$ gin (og) $2{\frac {1}{2}}$ she.
	— af leirtöflu „YBC 4652“ frá tímum Babýlón til forna

Elstu heimildirnar eru frá Súmerum sem er elsta menningarsamfélag Mesópótamíu. Leirtöflur frá um 3000 f.Kr. geyma fyrst og fremst upplýsingar um fjárhagslegar talningar, svo sem kornúthlutanir, fjölda verkamanna, þyngd silfurs og annað þess háttar. Frá um 2500 f.Kr. og síðar skrifuðu Súmerar margföldunartöflur á leir og fengust við rúmfræðileg vandamál og deilingardæmi. Elstu ummerki um babýlónska talnakerfið má einnig rekja til þessa tímabils.

Leirtafla númer 322 úr safni Plimton við Columbia-háskóla frá 1800 fyrir Krist, einu nafni nefnd Plimpton 322

Babýlónsk stærðfræði byggir á sextuga sætiskerfi. Þaðan höfum við skiptingu mínútna í 60 sekúndur, klukkustund í 60 mínútur og 360 (60 × 6) gráður í hring og eins skiptingu hrings í bogamínútur og bogasekúndur. Í sextugakerfi er hvert sæti margfeldi af sextíu (grunntalan sem flestir kannast við er tíu), nema hvað þeir höfðu ekkert tákn til að gera skil á milli hluta og heildar. Við skrifum $125,3$ sem er jafngilt $1\times 10^{2}+2\times 10^{1}+5\times 10^{0}+3\times 10^{-1}$, án tugakommu er það háð samhengi hvort talan sem átt er við er $1,253$, $12,53$ eða $1253$. Sama tala væri skrifuð $2\times 60^{1}+5\times 60^{0}18\times 60^{-1}$ þegar grunntalan er sextíu og væri hægt að skilja út frá samhengi ef við töluðum um 2 klukkustundir, 5 mínútur og 18 sekúndur. Nákvæmlega hvers vegna grunntalan 60 varð fyrir valinu er ekki vitað en hún er svokölluð yfirmargþætt tala sem lauslega þýðir að hún hefur mjög marga deila miðað við stærð, nefnilega tölurnar 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 og 30. Þó svo þeir hafi notað sætiskerfi án tugakommu eða tákns er það samt merkilegt því í stærðfræði Egypta, Grikkja og Rómverja til forna var ekki notast við sætiskerfi yfir höfuð.

Á leirtöflunum má sjá að menn þekktu hlutfallið á milli ummáls og þvermáls hrings og námunduðu $\pi \approx {\frac {25}{8}}$ sem er um það bil 5% skekkja og þekktu rótina af tveimur með 6 marktækum tölustöfum. Þeir þekktu almenn brot, algebru, tveggja stigs og þriðja stigs jöfnur. Margföldunartöflur, töflur yfir margföldunarandhverfur og elstu framsetningu á reglu Pýþagórasar sem þekkist er að finna á leirtöflum frá þessu tímabili. Eins og meðal Egypta til forna eru þó engin ummerki um stærðfræðilegar sannanir, notkun rökfræðilegra lögmála eða almennt sýnt hvernig lausn er fengin.

Egyptaland

Dæmi 14 úr Moskvu bókfellinu. Dæmið sýnir teikningu af strýtustúf.

Egypsk stærðfræði er stærðfræði forn-Egypta, skrifuð á þeirra tungu. Egyptar til forna þekktu snemma til stærðfræðiaðferða miðað við mannvirki eins og Pýramídann mikla í Gíza sem var reistur kringum 2575 f. Kr. en elstu rituðu heimildir sem þekkjast eru bókfell frá um það bil 1850 f. Kr. Ritaðar heimildir um stærðfræði forn-Egypta eru fáar en þeirra þekktasta er Rhindbókfellið (stundum einnig kallað Ahmes-bókfellið eftir höfundi þess), en aldursgreining bendir til þess að það sé frá um 1650 f.Kr. Það er líklega afrit af eldra skjali frá tíma Miðríkisins um 2000–1800 f.Kr. Þetta er kennslubók fyrir nemendur í reikningslist og rúmfræði: Þar má finna flatarmálsformúlur og aðferðir við margföldun, deilingu og notkun stofnbrota. Þá sýnir ritið einnig fram á aðra stærðfræðiþekkingu, þar á meðal þekkingu á samsettum tölum og frumtölum, hreinu meðaltali, faldmeðaltali og þýddu meðaltali, og einfaldan skilning á bæði sáldri Eratosþenesar og fullkomnum tölum. Það sýnir einnig hvernig leysa má fyrsta stigs línulegar jöfnur ásamt jafnmunaröðum og jafnhlutfallaröðum.

Annað merkilegt egypskt stærðfræðirit er Moskvubókfellið, einnig frá tímum Miðríkisins eða um 1890 f.Kr. Það inniheldur dæmisögur sem virðast hafa verið ætlaðar til skemmtunar. Eitt dæmið er talið sérstaklega mikilvægt þar sem það sýnir aðferð til að finna rúmmál strýtustúfs.

Síðasta merka handritið hér talið er Berlínarbókfellið (um 1800 f.Kr.) sem sýnir að Forn-Egyptar gátu leyst annars stigs algebrujöfnur.

Grikkland

Regla Pýþagórasar sýnd myndrænt. Sönnun hennar er almennt eignuð Pýþagóras og áhangendum hans.

Grísk stærðfræði vísar til tímabils frá tímum Þalesar frá Míletos um 600 f.Kr. þar til lokunar Akademíunnar í Aþenu árið 529 e.Kr. Grískir stærðfræðingar bjuggu í borgum víðs vegar um austurhluta Miðjarðarhafs, frá Ítalíu til Norður-Afríku, en voru sameinaðir í menningu og tungumáli. Grísk stærðfræði frá tímabilinu eftir Alexander mikla er stundum kölluð hellenísk stærðfræði. Hafa ber í huga að flestar heimildir okkar um stærðfræði fyrri hluta þessa tímabils eru yfirleitt afrit en ekki frumheimildir eða frásagnir manna sem voru uppi nokkrum öldum síðar; í afritum eru mistök og viðbætur (svo sem tölusetning setninga í Frumatriðum Evklíðs). Eftir tíma Platons höfum við þó nokkuð betri og fleiri heimildir sem gefa okkur mun betri mynd af stærðfræði Grikkja til forna.

Með grískri stærðfræði var tekið mikið framfaraskref þegar menn hófu að sanna stærðfræðilegar setningar með afleiðslu út frá gefnum frumsendum af rökfestu. Allar varðveittar heimildir um stærðfræði frá því fyrir tíma Grikkja sýna notkun tilleiðslu, þar sem þumalputtareglur í reikningi eru staðfestar með athugunum og dæmum.

Fyrir tíma Platons

Algengt er að marka upphaf grískrar stærðfræði við Þales frá Míletos og Pýþagóras frá Samos. Þótt deilt sé um hversu mikil áhrifin voru, fengu þeir líklega innblástur frá egypskri og babýlonskri stærðfræði. Samkvæmt goðsögninni ferðaðist Pýþagóras til Egyptalands til að læra stærðfræði, rúmfræði og stjörnufræði af egypskum prestum. Allar heimildir okkar um stærðfræði þeirra berast okkur óbeint löngu eftir þeirra tíma, Próklos skrifar um Þales í athugasemdum sínum við Frumatriði Evklíðs næstum því þúsund árum síðar og Aristótelis minnist á Þýþagóras og áhangendur hans um það bil öld síðar. Ekki er almennt deilt um tilvist þessara einstaklinga en nú telja fræðimenn að til dæmis regla Pýþagórasar og sönnun hennar sé ekki frá honum komin. Þrátt fyrir þetta er Þales gjarnan eignaður heiðurinn af fyrstu afleiðslunni og Pýþagóras eignað orðið μάθημα (matema) sem er rót orðsins yfir stærðfræði í mörgum tungumálum.

Platon og Akademían

Miklu fleiri heimildir eru til um og eftir Platon (um 427 f. Kr. – 348 f. Kr.) sem var mikill talsmaður stærðfræðinnar. Akademían sem hann stofnaði í Aþenu var fræðisetur fram til fjórðu aldar eftir Krist og þar lærðu margir helstu stærðfræðinga þess tíma. Í ritum hans má finna ýmsar stærðfræðihugmyndir, til dæmis ræðir Sókrates við ungan þræl í einum af samræðunum (Menon) um skilgreininguna á ferningi og flatarmáli hans og hjálpar honum að átta sig á því hvernig finna megi ferning með tvöfalt flatarmál gefins fernings. Platon ræðir undirstöður stærðfræðinnar og talar til dæmis um línu sem „lengd án breiddar”. Hér eru fyrstu heimildirnar um notkun rökfræði til að alhæfa um stærðfræðileg fyrirbrigði og tilraunir til að skilgreina nákvæmlega hugtök.

Evdoxos frá Knídos var nemandi Platons og starfaði við Akademíuna, hann þróaði tæmingaraðferðina af meiri nákvæmni en áður til að áætla flatarmál (eða rúmmál) ávalra rúmmynda (sjá einnig ferningun hrings); þessi aðferð liggur til grundvallar Riemann–heilda og var hagnýtt af Arkímedesi síðar til að áætla hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings ($\pi$). Fimmta bók Frumatriða Evklíðs er talin vera að mestu byggð á hugmyndum Evdoxos sem fjallar um ósammælanlegar stærðir og hlutföll. Framlag Aristótelesar í stærðfræði var fyrst og fremst á sviði rökfræði.

Heimildir

Heimildarverk

• de Crespigny, Rafe (2007), A Biographical Dictionary of Later Han to the Three Kingdoms (23–220 AD), Leiden: Koninklijke Brill, ISBN 978-90-04-15605-0.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
• Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd. útgáfa), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
• Cuomo, Serafina (2001), Ancient Mathematics, London: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
• Goodman, Michael (2016), An introduction of the Early Development of Mathematics, Hoboken: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1
• Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, New York: W.W. Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
• Joyce, Hetty (júlí 1979), „Form, Function and Technique in the Pavements of Delos and Pompeii“, American Journal of Archaeology, 83 (3): 253–63, doi:10.2307/505056, JSTOR 505056, S2CID 191394716.
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd. útgáfa), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-01618-8
• Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, 3. bindi, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8
• Needham, Joseph; Wang, Ling (2000) [1965], Science and Civilization in China: Physics and Physical Technology: Mechanical Engineering, 4. bindi (reprint. útgáfa), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05803-2
• Sleeswyk, Andre (október 1981), „Vitruvius' odometer“, Scientific American, 252 (4): 188–200, Bibcode:1981SciAm.245d.188S, doi:10.1038/scientificamerican1081-188.
• Straffin, Philip D. (1998), „Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics“, Mathematics Magazine, 71 (3): 163–81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627
• Tang, Birgit (2005), Delos, Carthage, Ampurias: the Housing of Three Mediterranean Trading Centres, Rome: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7.
• Volkov, Alexei (2009), „Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam“, Í Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (ritstjórar), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, bls. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2

Lesefni

Almennt

• Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House.
• Bell, E. T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster.
• Burton, David M. (1997). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill.
• Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-7397-3.
• Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
• Struik, D. J. (1987). A Concise History of Mathematics, fourth revised edition. Dover Publications, New York.

Um ákveðin tímabil

• Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press.
• Heath, Thomas Little (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford, Claredon Press.
• van der Waerden, B. L. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, ISBN 0-387-12159-5.

Um ákveðið viðfangsefni

• Corry, Leo (2015), A Brief History of Numbers, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
• Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion. ISBN 0-7868-6362-5.
• Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.
• Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 978-0-674-40341-3.

Tenglar

Heimildarmyndir

• BBC (2008). The Story of Maths.
• Renaissance Mathematics, BBC Radio 4 discussion with Robert Kaplan, Jim Bennett & Jackie Stedall (In Our Time, Jun 2, 2005)

Kennsluefni

• MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website containing detailed biographies on many historical and contemporary mathematicians, as well as information on notable curves and various topics in the history of mathematics.
• History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography.
• The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Jeff Miller). Contains information on the earliest known uses of terms used in mathematics.
• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Jeff Miller). Contains information on the history of mathematical notations.
• Mathematical Words: Origins and Sources (John Aldrich, University of Southampton) Discusses the origins of the modern mathematical word stock.
• Biographies of Women Mathematicians (Larry Riddle; Agnes Scott College).
• Mathematicians of the African Diaspora (Scott W. Williams; University at Buffalo).
• Notes for MAA minicourse: teaching a course in the history of mathematics. (2009) Geymt 1 desember 2018 í Wayback Machine (V. Frederick Rickey & Victor J. Katz).
• Ancient Rome: The Odometer Of Vitruv. Pictorial (moving) re-construction of Vitusius' Roman ododmeter.

Stofnanir

• International Commission for the History of Mathematics

Fræðirit

• Historia Mathematica
• Convergence Geymt 8 september 2020 í Wayback Machine, the Mathematical Association of America's online Math History Magazine
• History of Mathematics Geymt 4 október 2006 í Wayback Machine Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)
• History/Biography Geymt 7 maí 2007 í Wayback Machine The Math Forum (Drexel University)
• History of Mathematics (Courtright Memorial Library).
• History of Mathematics Web Sites Geymt 25 maí 2009 í Wayback Machine (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
• Historia de las Matemáticas (Universidad de La La guna)
• História da Matemática (Universidade de Coimbra)
• Using History in Math Class
• Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius)
• History of Mathematics (Roberta Tucci)