Regla Sarrusar

Regla Sarrusar (enska Sarrus' rule eða Sarrus' scheme) er aðferð notuð til að reikna ákveðu 3×3 fylkis. Hún er nefnd í höfuðið á franska stærðfræðinginum Pierre Frédéric Sarrus.

Ef 3x3 fylkið $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ er tekið sem dæmi þá væri hægt að reikna ákveðu þess með eftirfarandi skema:

Endurtaka skal fyrstu tvo dálka fylkisins fyrir aftan þriðja dálkinn, svo fylkið hafi 5 dálka allt í allt. Leggðu svo saman margfeldi skálínanna sem fara niður (heila skálínan) og dragðu frá margfeldi skálínunnar sem fer upp (óheila skálínan). Úr þessu fæst:

$|M|={\begin{vmatrix}{\color {MidnightBlue}a_{11}}&{\color {CadetBlue}a_{12}}&{\color {DarkOrchid}a_{13}}\\{\color {DarkOrchid}a_{21}}&{\color {MidnightBlue}a_{22}}&{\color {CadetBlue}a_{23}}\\{\color {CadetBlue}a_{31}}&{\color {DarkOrchid}a_{32}}&{\color {MidnightBlue}a_{33}}\end{vmatrix}}={\color {MidnightBlue}a_{11}a_{22}a_{33}}+{\color {CadetBlue}a_{12}a_{23}a_{31}}+{\color {DarkOrchid}a_{13}a_{21}a_{32}}-{\color {CadetBlue}a_{31}}{\color {MidnightBlue}a_{22}}{\color {DarkOrchid}a_{13}}-{\color {DarkOrchid}a_{32}}{\color {CadetBlue}a_{23}}{\color {MidnightBlue}a_{11}}-{\color {MidnightBlue}a_{33}}{\color {DarkOrchid}a_{21}}{\color {CadetBlue}a_{12}}$

Líkt skema sem byggir á skálínum virkar fyrir 2×2 fylki: $|M|={\begin{vmatrix}{\color {MidnightBlue}a_{11}}&{\color {CadetBlue}a_{12}}\\{\color {CadetBlue}a_{21}}&{\color {MidnightBlue}a_{22}}\end{vmatrix}}={\color {MidnightBlue}a_{11}a_{22}}-{\color {CadetBlue}a_{21}a_{12}}$

Dæmi[breyta | breyta frumkóða]

2×2 fylki[breyta | breyta frumkóða]

Fyrsta dæmið[breyta | breyta frumkóða]

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

A={\begin{pmatrix}-2&5\\7&1\end{pmatrix}}

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $(-2)\times 1$ eða $-2$ og margfeldi óheilu skálínunar er $7\times 5$ sem er jaft og $35$ . Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-2-35$ :

|A|={\begin{vmatrix}-2&5\\7&1\end{vmatrix}}=-2-35=-37

og því er ákveða fylkisins A $-37$ .

Annað dæmið[breyta | breyta frumkóða]

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

B={\begin{pmatrix}1&0\\5&-14\end{pmatrix}}

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $1\times (-14)$ eða $-14$ og margfeldi óheilu skálínunar er $5\times 0$ sem er auðvitað $0$ . Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-14-0$ :

|B|={\begin{vmatrix}1&0\\5&-14\end{vmatrix}}=-14-0=-14

og því er ákveða fylkisins B $-14$ .

3×3 fylki[breyta | breyta frumkóða]

Sem dæmi má taka 3×3 fylkið

C={\begin{pmatrix}-1&3&5\\6&4&2\\-2&5&1\end{pmatrix}}

Og þá er margfeldi skálínanna sem voru heilar laggðar saman þar sem sú fyrsta er $(-1)\times 4\times 1$ eða $-4$ , sú önnur er $3\times 2\times (-2)$ sem er jaft og $-12$ og sú síðasta er $5\times 6\times 5$ sem er $150$ . Svo er margfeldi óheilu skálínanna dregnar frá, en fyrsta skálínan er $(-2)\times 4\times 5$ eða $-40$ , sú önnur er $5\times 2\times (-1)$ eða $-10$ og sú síðasta er $1\times 6\times 3$ eða $18$ .