„Staðall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga
endurorðaði innganginn svo hann yrði aðeins aðgengilegri óþjálfuðum ásamt fleiru |
|||
Lína 1: | Lína 1: | ||
'''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] |
'''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] er tiltekið [[fall (stærðfræði)|fall]], táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak '''v''' í [[vigurrúm]]i ''V'', ||'''v'''|| eða |'''v'''|, og gefur [[já- eða neikvæð tala|jákvæða tölu]] fyrir hvern vigur, nema [[núllvigurinn]], en staðall hans er [[núll]]. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við [[firð]] í [[firðrúm]]i. |
||
==Algengir staðlar vigurrúma== |
==Algengir staðlar vigurrúma== |
||
*''[[Evklíð]]ski staðllinn'' |
*''[[Evklíð]]ski staðllinn'' |
||
:<math>\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math> |
||
er algengasti staðallinni í '''R'''<sup>''n''</sup>. gefur stærð vigurs skv. [[Pýþagórasarreglan|reglu Pýþagórasar]]. |
er algengasti staðallinni í '''R'''<sup>''n''</sup>. gefur stærð vigurs skv. [[Pýþagórasarreglan|reglu Pýþagórasar]]. |
||
*''1-staðllinn'' |
*''1-staðllinn'' |
||
:<math>\|x\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math> |
||
*''p-staðallinn'' |
*''p-staðallinn'' |
||
:<math>\|x\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math> |
||
þar sem ''p''≥ 1 . (''p'' = 1 og ''p'' = 2 gefa staðlana hér að ofan.) |
þar sem ''p''≥ 1 . (''p'' = 1 og ''p'' = 2 gefa staðlana hér að ofan.) |
||
*''Óendanlegi staðallinn'' |
*''Óendanlegi staðallinn'' |
||
:<math>\|x\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math> |
||
==Línlegar varpanir== |
==Línlegar varpanir== |
||
Fyrir sérhverja [[gagntækt fall|gagntæka]], [[línuleg vörpun|línulega |
Fyrir sérhverja [[gagntækt fall|gagntæka]], [[línuleg vörpun|línulega vörpun]] ''A'' má reikna staðal staks '''x''' þannig: |
||
:<math>\| |
:<math>\|A\mathbf{x}\|.</math> |
||
==Eiginleikar staðla== |
==Eiginleikar staðla== |
||
Tveir staðlar ||•||<sub>α</sub> og ||•||<sub>β</sub> í vigurrúmi ''V'' eru sagðir ''jafngildir'' ef til eru [[já- eða neikvæð tala|jákvæðar]] [[rauntala|rauntölur]] ''C'' og ''D'' þ.a. |
Tveir staðlar ||•||<sub>α</sub> og ||•||<sub>β</sub> í vigurrúmi ''V'' eru sagðir ''jafngildir'' ef til eru [[já- eða neikvæð tala|jákvæðar]] [[rauntala|rauntölur]] ''C'' og ''D'' þ.a. |
||
:<math>C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha</math> |
:<math>C\|\mathbf{x}\|_\alpha\leq\|\mathbf{x}\|_\beta\leq D\|\mathbf{x}\|_\alpha</math> |
||
fyrir öll ''x'' í ''V''. |
fyrir öll ''x'' í ''V''. |
||
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru <math>l_1</math>, <math>l_2</math> og <math>l_\infty</math> staðlarnir jafngildir í <math>\mathbb{R}^n</math>: |
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru <math>l_1</math>, <math>l_2</math> og <math>l_\infty</math> staðlarnir jafngildir í <math>\mathbb{R}^n</math>: |
||
:<math>\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_2\le\|\mathbf{x}\|_1\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2</math> |
||
:<math>\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_2\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty</math> |
||
:<math>\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_1\le n\|\mathbf{x}\|_\infty</math> |
||
== Tengt efni == |
== Tengt efni == |
Útgáfa síðunnar 29. janúar 2010 kl. 01:11
Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.
Algengir staðlar vigurrúma
- Evklíðski staðllinn
er algengasti staðallinni í Rn. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.
- 1-staðllinn
- p-staðallinn
þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)
- Óendanlegi staðallinn
Línlegar varpanir
Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:
Eiginleikar staðla
Tveir staðlar ||•||α og ||•||β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.
fyrir öll x í V.
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru , og staðlarnir jafngildir í :