„Runa“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við

Innfellt

Útgáfa síðunnar 15. mars 2008 kl. 17:15

Runa er, í stærðfræði, óendanleg fjölskylda af stökum ásamt vísismenginu $\mathbb {N}$ . Óformlega má líta á runu sem keðju af fyrirbærum sem koma eitt á fætur öðru, og enginn endir er á. Dæmi um runur væri:

$1,2,3,4,5,6,7...$
$5,10,15,20,25,...$
$1,1,2,3,5,8,13,21,...$ (Fibbonnacci runan)
$1,1,1,1,1,1,...$ (Fastarunan 1)

Runu má hugsa sér sem fall með formengið $\mathbb {N}$ og því gilda ýmis hugtök úr fallafræði um þær. Runa er gjarnan táknuð, líkt og fjölskyldur almennt, með svigum, t.d. $(a)$ . Þá er það oft ritað $(a)_{n\in \mathbb {N} }$ , til þess að gefa til kynna að um sé að ræða fjölskyldu þar sem að hvert stak hefur vísi úr mengi náttúrlegra talna. Þá er n-ta stak rununnar táknað $a_{n}$ .

Vaxandi og minnkandi runur

Runa er sögð vaxandi ef hún stækkar eftir því sem á líður, þ.e., að fyrir öll n gildir $a_{n+1}\geq a_{n}$ . Sömuleiðis er runa sögð minnkandi ef að hún minnkar, þ.e., að fyrir öll n gildir $a_{n+1}\leq a_{n}$ .

Runur sem eru annað hvort vaxandi eða minnkandi eru kallaðar einhalla.

Hlutruna

Hlutruna er búin til úr runu með því að eyða nokkrum gildum út úr runu. Til dæmis væri hægt að smíða runu úr þriðja hverju gildi annarrar runu:

b_{n}=a_{3n}

Samleitni

Hafi runa grannmynstur getur hún verið samleitin. Runa er sögð samleitin ef að hún hefur markgildi.

Formlega, fyrir runu $(a)_{n}$ , $n\in \mathbb {N}$ , á firðrúmi $M$ með firð $d$ , þá fyrir $L\in M$ segjum við að $L$ sé markgildi rununnar og ritum:

L=\lim _{n\to \infty }a_{n}

\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow d(a_{n},L)<\epsilon .\;

Það er að segja, að fyrir öll $\epsilon$ sem eru stærri en 0, þá sé til tala N, þannig að ef að n > N þá sé fjarlægðin milli $a_{n}$ og L minni en $\epsilon$ .

Takmarkaðar runur

Runa er takmörkuð ef til er endanleg tala M, þ.a. | $a_{n}$ | < M fyrir öll n. Runa, sem ekki er takmörkuð kallast ótakmörkuð runa. Til dæmis getur runa haft markgildi og þá sögð vera samleitin en ósamleitin ef hún hefur ekki markgildi. Ef að fjarlægð milli staka minnkar eftir því sem líður á rununa kallast runan Cauchyruna á firðinni sem fjarlægðin er mæld með.

Röð

Röð er runa af summum annarar runu. Til dæmis ef (x₁, x₂, x₃, ...) er runa, þá má skoða hlutsummurununa (S₁, S₂, S₃, ...), með

S_{n}=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}.

Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.

Tengt efni

@@ Lína 1: / Lína 1: @@
+[[Mynd:Cauchy sequence illustration2.png|thumb|200px|Cauchy runa sem er hvorki vaxandi né minnkandi né samleitin, en hún er á hinn boginn takmörkuð.]]
 '''Runa''' er, í [[stærðfræði]], óendanleg [[fjölskylda (stærðfræði)|fjölskylda]] af [[stak|stökum]] ásamt [[vísir|vísismenginu]] <math>\mathbb{N}</math>. Óformlega má líta á runu sem keðju af fyrirbærum sem koma eitt á fætur öðru, og enginn endir er á. Dæmi um runur væri:
@@ Lína 8: / Lína 9: @@
 Runu má hugsa sér sem [[fall (stærðfræði)|fall]] með [[formengi]]ð <math>\mathbb{N}</math> og því gilda ýmis hugtök úr [[fallafræði]] um þær. Runa er gjarnan táknuð, líkt og fjölskyldur almennt, með svigum, t.d. <math>(a)</math>. Þá er það oft ritað <math>(a)_{n\in\mathbb{N}}</math>, til þess að gefa til kynna að um sé að ræða fjölskyldu þar sem að hvert stak hefur vísi úr mengi [[náttúrlegar tölur|náttúrlegra talna]]. Þá er ''n''-ta stak rununnar táknað <math>a_n</math>.
+== Vaxandi og minnkandi runur ==
+Runa er sögð '''vaxandi''' ef hún stækkar eftir því sem á líður, þ.e., að fyrir öll ''n'' gildir <math>a_{n+1} \ge a_n</math>. Sömuleiðis er runa sögð '''minnkandi''' ef að hún minnkar, þ.e., að fyrir öll ''n'' gildir <math>a_{n+1} \le a_n</math>.
+Runur sem eru annað hvort vaxandi eða minnkandi eru kallaðar '''einhalla'''.
+== Hlutruna ==
+Hlutruna er búin til úr runu með því að eyða nokkrum gildum út úr runu. Til dæmis væri hægt að smíða runu úr þriðja hverju gildi annarrar runu:
+:<math>b_n = a_{3n}</math>
+== Samleitni ==
+{{Aðalgrein|Samleitni}}
+Hafi runa [[grannmynstur]] getur hún verið samleitin. Runa er sögð '''samleitin''' ef að hún hefur [[markgildi]].
+Formlega, fyrir runu <math>(a)_n</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>, á [[firðrúm]]i <math>M</math> með [[firð]] <math>d</math>, þá fyrir <math>L \in M</math> segjum við að <math>L</math> sé markgildi rununnar og ritum:
+::<math> L = \lim_{n \to \infty} a_n </math>
+::<math>\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exists N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow  d(a_n,L)<\epsilon.\; </math>
+Það er að segja, að fyrir öll <math>\epsilon</math> sem eru stærri en 0, þá sé til tala ''N'', þannig að ef að ''n'' > ''N'' þá sé fjarlægðin milli <math>a_n</math> og ''L'' minni en <math>\epsilon</math>.
+== Takmarkaðar runur ==
 Runa er [[takmörkuð runa|takmörkuð]] ef til er [[endanleg tala]] ''M'', þ.a. |<math>a_n</math>| < ''M'' fyrir öll ''n''. Runa, sem ekki er takmörkuð kallast ''ótakmörkuð runa''. Til dæmis getur runa haft [[markgildi]] og þá sögð vera [[samleitni|samleitin]] en ósamleitin ef hún hefur ekki markgildi. Ef að fjarlægð milli staka minnkar eftir því sem líður á rununa kallast runan [[Cauchyruna]] á [[firð]]inni sem fjarlægðin er mæld með.
+== Röð ==
+[[Röð (stærðfræði)|Röð]] er runa af summum annarar runu. Til dæmis ef (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ...) er runa, þá má skoða [[hlutsummuruna|hlutsummurununa]] (''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>, ''S''<sub>3</sub>, ...), með
+:<math>S_n=x_1+x_2+\dots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.</math>
 {{Stubbur|stærðfræði}}