„Samfelldni“: Munur á milli breytinga
Lína 12: | Lína 12: | ||
==Samfelldni í firðrúmi== |
==Samfelldni í firðrúmi== |
||
Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið ''f'' <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>. |
Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið ''f'' <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>. |
||
Fyrir venjulegu firðina ''d''(''x'',''y'') = |''x'' - ''y''| á [[rauntala|rauntalnaásnum]] er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>" skilgreiningu á samfelldni. |
|||
Útgáfa síðunnar 2. september 2007 kl. 08:41
Samfelldni er einn mikilvægasta eiginleiki falla í örsmæðarreikningi og grannfræði, en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.
Samfelldni raungilds falls
Raungilt fall , sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.
- .
Samfelldni í grannrúmi
Fyrir almennt grannrúm gildir að fall er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi gildir að er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. .
Samfelldni í firðrúmi
Ef eru firðrúm er fallið f sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. .
Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri "" skilgreiningu á samfelldni.