„Samfelldni“: Munur á milli breytinga
bætti við samfelldni í friðrúmi o.fl. |
|||
Lína 9: | Lína 9: | ||
==Samfelldni í grannrúmi== |
==Samfelldni í grannrúmi== |
||
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er |
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er samfellt þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé samfellt í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>. |
||
Ef ''X'' og ''Y'' eru grannrúm, er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu. |
|||
==Samfelldni í firðrúmi== |
==Samfelldni í firðrúmi== |
Útgáfa síðunnar 2. september 2007 kl. 08:38
Samfelldni er einn mikilvægasta eiginleiki falla í örsmæðarreikningi og grannfræði, en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.
Samfelldni raungilds falls
Raungilt fall , sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.
- .
Samfelldni í grannrúmi
Fyrir almennt grannrúm gildir að fall er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi gildir að er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. .
Samfelldni í firðrúmi
Ef eru firðrúm er fallið f sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. .