„Samfelldni“: Munur á milli breytinga
m Samfella færð á Samfelldni: samfella hefur fleiri merkingar |
bætti við skilgr. um grannrúm |
||
Lína 1: | Lína 1: | ||
'''Samfelldni''' er mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)|falla]] í [[stærðfræðigreining| |
'''Samfelldni''' er einn mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)|falla]] í [[stærðfræðigreining|örsmæðarreikningi]] og [[grannfræði]], en hana er ekki auðvelt að skilgreina. |
||
Lýsa má samfelldni (losaralega) þannig að fall sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
===Samfelldni í grannrúmi=== |
|||
Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''. |
|||
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>. |
|||
Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu. |
|||
Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{stæ-stubbur}} |
{{stæ-stubbur}} |
Útgáfa síðunnar 28. ágúst 2007 kl. 13:53
Samfelldni er einn mikilvægasta eiginleiki falla í örsmæðarreikningi og grannfræði, en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Lýsa má samfelldni (losaralega) þannig að fall sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum.
M.ö.o. er fall f sagt samfellt í punkti y ef fallið er skilgrint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.
Samfelldni í grannrúmi
Fyrir almennt grannrúm gildir að fall er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi gildir að er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. . Ef X og Y eru grannrúm, er skilgreiningin jafngild sígildri "": skilgreiningu.
Fall f er sagt samfellt í punkti y ef til er götuð grennd I við y þ.a. um öll x í I gildi: