Fall (stærðfræði)

Í stærðfræði á orðið fall yfirleitt við vörpun, þ.a. fyrir sérhvert stak í formengi vörpunarinnar er til eitt og aðeins sitt stak í bakmengi. Stundum eru þó orðin „fall“ og „vörpun“ notuð sem samheiti. Föll eru mikilvæg í öllum magnbundnum vísindinum. Fallafræðin fjallar um föll.

Skilgreining

Fall f, með formengi A og bakmengi B, lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða, óháðu breytunnar x og háðu breytunnar y: $f:A\to B$. Fall f úthlutar þá sérhverju staki x í A nákvæmlega einu staki í B, sem við táknum með f(x), og segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr B fallið tekur í sérhverju staki í A. Athugið að fleiri en eitt stak í A geta tekið sama gildið í B.

Sem dæmi, ef bæði formengi og bakmengi falls f eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar f sérhverri rauntölu x annarri rauntölu, sem er þá táknuð f(x). Við segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Myndmengi falls inniheldur öll hugsanleg gildi í bakmenginu sem f getur varpar einhverju staki formengisins í. M.ö.o. er myndmengi falls f mengi allra staka y í bakmengi þegar til er stak x í formenginu þ.a. f(x) = y. Fall er sagt eintækt ef sérhver tvö ólík stök í formenginu taka ólík gildi í myndmenginu. Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt. Fall er sagt gagntækt ef það er bæði „átækt“ og „eintækt“.

Myndræn líking

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „vél“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og loft og skila frá sér hreyfiorku og hita. Dæmi um fall f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8, en þar er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna margföldun.

Algeng föll

Fastaföll

Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið f: R → R;f(x) := 1, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.

Margliðuföll

Margliðufall er af gerðinni f: R → R : $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$ þar sem n er náttúrleg tala og stuðlarnir eru rauntölur eða tvinntölur.

Tvinngild föll

Sum föll á tvinnsléttunni eru „marggild“ og taka því sama gild fyrir ólík stök í formengi, t.d. logra- og veldisfallið. Þar sem auðveldara er að vinna með eintæk föll er tvinnsléttan oft „skorin“ og aðeins unnið með eina „grein“ fallsins, sem er eintæk.

Myndræn framsetning

Línurit er myndræn framsetning á falli, nánar tiltekið á tvenndunum (x, y), en algengast er að nota rétthyrnt hnitakerfi, þar sem óháða breytan markast af x-ás, en sú háða af y-ás.

Fallahugtök og tengt efni

• Stærðfræði samheiti
• Hlutleysufall
• Átækt fall
• Eintækt fall
• Gagntækt fall
• Ferill
• Faldmengi
• Takmarkað fall
• Samsetning falla
• Ósamfellt fall
• Kennifall

Heimildir

• Encyclopædia Britannica — Function
• Mathworld — Function

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.