„Fall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Efni eytt Efni bætt við
Kyrhaus (spjall | framlög)
Ekkert breytingarágrip
Kyrhaus (spjall | framlög)
Ekkert breytingarágrip
Lína 5: Lína 5:
== Skilgreining ==
== Skilgreining ==
Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.
Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.
Við að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) </math> í <math> x </math>.


Formlega táknum við fall ''f'' með formengi ''A '' og bakmengi ''B'' með <math>f: A \to B</math>. Fall ''f '' úthlutar þá sérhverju staki ''x \in A'' nákvæmlega einu staki í ''B'' sem við táknum með ''f(x)'' og segjum þá að ''f'' taki gildið ''f(x)'' í ''x''. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr ''B'' fallið tekur í sérhverju staki í ''A''. Athugið að fleiri en eitt stak í ''A'' geta tekið sama gildið í ''B''.


Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls ''f'' eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar ''f'' sérhverri rauntölu ''x'' annarri rauntölu, sem er þá táknuð ''f(x)''. Við segjum þá að ''f'' taki gildið ''f(x)'' í ''x''.
[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. Formlega táknum við fall <math> f </math> með formengi <math> A </math> og bakmengi <math> B </math> með <math>f: A \to B</math>. Fall <math> f </math> úthlutar þá sérhverju staki <math> x \in A </math> nákvæmlega einu staki í <math> B </math> sem við táknum með <math> f(x) </math> og segjum þá að <math> f </math> taki gildið <math> f(x) </math> í <math> x </math>. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr <math> B </math> fallið tekur í sérhverju staki í <math> A </math>. Athugið að fleiri en eitt stak í <math> A </math> geta tekið sama gildið í <math> B </math>.
[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem ''f'' tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls ''f'' mengi allra staka ''x'' í bakmengi ''f'' þ.a. til er ''x'' í formangi ''f'' þ.a. ''f(x) = y''.

Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls <math> f </math> eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar <math> f </math> sérhverri rauntölu <math> x </math> annarri rauntölu, sem er þá táknuð <math> f(x) </math>. Við segjum þá að <math> f </math> taki gildið <math> f(x) </math> í <math> x </math>.
[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f </math> tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls <math> f </math> mengi allra staka <math> x </math> í bakmengi <math> f </math> þ.a. til er <math> x </math> í formangi <math> f </math> þ.a. <math> f(x) = y </math>.
Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt.
Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt.
Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið.
Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið.
Lína 31: Lína 29:
==Algeng föll==
==Algeng föll==
===Fastaföll===
===Fastaföll===
Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := 1 </math>, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.
Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið ''f(x) = 1'', þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.


===Margliðuföll===
===Margliðuföll===
Margliðuföll eru af gerðinni <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 </math> þar sem <math> n </math> er [[náttúrleg tala]] og <math> a_1,...a_n </math> eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er [[raunfall]] eða [[tvinnfall]].
Margliðuföll eru af gerðinni ''f(x) = a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0'' þar sem ''n'' er [[náttúrleg tala]] og ''a_1,...a_n'' eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er [[raunfall]] eða [[tvinnfall]].


== Myndræn líking ==
== Myndræn líking ==

Útgáfa síðunnar 26. júlí 2011 kl. 19:27

Í stærðfræði er fall er einkum notað um vörpun sem tekur gildi í rauntölunum eða tvinntölunum en er stundum notað í víðari merkingu sem samheiti við vörpun. Fall er afar mikilvægt hugtak í stærðfræði og mörgum hagnýtingum hennar. Þar eru föll notuð til að lýsa hvernig ákveðnar stærðir hafa áhrif á aðrar stærðir.


Skilgreining

Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.

Formlega táknum við fall f með formengi A og bakmengi B með . Fall f úthlutar þá sérhverju staki x \in A nákvæmlega einu staki í B sem við táknum með f(x) og segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr B fallið tekur í sérhverju staki í A. Athugið að fleiri en eitt stak í A geta tekið sama gildið í B.

Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls f eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar f sérhverri rauntölu x annarri rauntölu, sem er þá táknuð f(x). Við segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Myndmengi falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem f tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls f mengi allra staka x í bakmengi f þ.a. til er x í formangi f þ.a. f(x) = y. Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt. Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið. Fall er sagt gagntækt ef það er bæði átækt og eintækt.

Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð x er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast f

Tákn

Hér eru tákn sem hefð er fyrir að nota:

Fall úr í er skilgreint þannig:

Skilgreiningarmengi fallsins er

Myndmengi fallsins er

Bakmengi fallsins er

Algeng föll

Fastaföll

Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið f(x) = 1, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.

Margliðuföll

Margliðuföll eru af gerðinni f(x) = a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 þar sem n er náttúrleg tala og a_1,...a_n eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er raunfall eða tvinnfall.

Myndræn líking

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „vél“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og loft og skila frá sér hreyfiorku og hita. Sömuleiðis gæti fall tekið inn töluna „4“ og skilað út tölunni „8“ eftir að „vélin" hefði tvöfaldað töluna 4.

Dæmi um skilgreiningu falls f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8. Í því dæmi er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna margföldun.

Fallahugtök og tengt efni

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.

Snið:Tengill ÚG