„Fall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við

Innfellt

Útgáfa síðunnar 26. júlí 2011 kl. 18:54

Í stærðfræði er fall er einkum notað um vörpun sem tekur gildi í rauntölunum eða tvinntölunum en er stundum notað í víðari merkingu sem samheiti við vörpun. Fall er afar mikilvægt hugtak í stærðfræði og mörgum hagnýtingum hennar. Þar eru föll notuð til að lýsa hvernig ákveðnar stærðir hafa áhrif á aðrar stærðir.

Skilgreining

Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu. Við að Þáttun mistókst (óþekkt aðgerð „\math”): {\displaystyle f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>. [[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. Formlega táknum við fall <math> f <\math> með formengi <math> A <\math> og bakmengi <math> B <\math> með <math>f: A \to B<\math>. Fall <math> f <\math> úthlutar þá sérhverju staki <math> x \in A <\math> nákvæmlega einu staki í <math> B <\math> sem við táknum með <math> f(x) <\math> og segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr <math> B <\math> fallið tekur í sérhverju staki í <math> A <\math>. Athugið að fleiri en eitt stak í <math> A <\math> geta tekið sama gildið í <math> B <\math>. Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls <math> f <\math> eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar <math> f <\math> sérhverri rauntölu <math> x <\math> annarri rauntölu, sem er þá táknuð <math> f(x) <\math>. Við segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>. [[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls <math> f <\math> mengi allra staka <math> x <\math> í bakmengi <math> f <\math> þ.a. til er <math> x <\math> í formangi <math> f <\math> þ.a. <math> f(x) = y <\math>. Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt. Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið. Fall er sagt gagntækt ef það er bæði átækt og eintækt. Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð ''x'' er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast f === Tákn === Hér eru tákn sem hefð er fyrir að nota: Fall úr <math>A} í $B$ er skilgreint þannig: $f:\ A\to B$

Skilgreiningarmengi fallsins $f$ er $D_{f}$

Myndmengi fallsins $f$ er $V_{f}$

Bakmengi fallsins $f$ er $B$

Algeng föll

Fastaföll

Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið <math> f:R \to R; f(x) := 1 <\math>, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.

Margliðuföll

Margliðuföll eru af gerðinni <math> f:R \to R; f(x) := a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 <\math> þar sem <math> n <\math> er náttúrleg tala og <math> a_1,...a_n <\math> eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er raunfall eða tvinnfall.

Myndræn líking

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „vél“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og loft og skila frá sér hreyfiorku og hita. Sömuleiðis gæti fall tekið inn töluna „4“ og skilað út tölunni „8“ eftir að „vélin" hefði tvöfaldað töluna 4.

Dæmi um skilgreiningu falls f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8. Í því dæmi er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna margföldun.

Fallahugtök og tengt efni

Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.

Snið:Tengill ÚG

@@ Lína 1: / Lína 1: @@
+Í [[stærðfræði]] er '''fall''' er einkum notað um [[vörpun]] sem tekur gildi í [[rauntala|rauntölunum]] eða [[tvinntala|tvinntölunum]] en er stundum notað í víðari merkingu sem samheiti við vörpun.
-'''Fall''' í [[stærðfræði]] er [[eintækt fall|eintæk]] [[vörpun]] milli tveggja [[mengi|mengja]], [[formengi]]s og [[bakmengi]]s, þ.a. fyrir sérhvert stak í formenginu er til eitt og aðeins eitt stak í bakmenginu. (Öfug skilgreining gildir aðeins fyrir [[gagntækt fall]], þ.e. fyrir sérhvert stak í bakmenginu, sem er eins og [[myndmengi]]ð, er til eitt og aðeins eitt stak í formenginu.) Orðin fall og vörpun eru oft notuð sem [[samheiti]], þó að vörpun þurfi ekki að vera eintæk. Hugtakið fall er mikilvægt fyrir nánast allar greinar stærðfræðinnar og öll magnbundin [[vísindi]]. '''Fallafræðin''' fjallar um föll.
+Fall er afar mikilvægt hugtak í stærðfræði og mörgum hagnýtingum hennar. Þar eru föll notuð til að lýsa hvernig ákveðnar stærðir hafa áhrif á aðrar stærðir.
-== Formleg skilgreining ==
-Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð ''x'' er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast fallgildi). Fall getur einnig lýst sambandi á milli mengja, þ.e. fyrir hvert stak ''x'' í gefnu mengi (sem er kallað [[formengi]]) er til eitt og aðeins eitt stak y í öðru gefnu mengi sem kallast bakmengi. Mengi fallgilda kallast [[myndmengi]] (varpmengi, gildamengi) sem þarf ekki að vera það sama og bakmengið. ''Að sjálfsögðu má notast við aðra bókstafi á breytistærðunum''.
+== Skilgreining ==
-Til frekari útskýringar látum við A og B vera tvö [[mengi]], og A er talnamengi. Fall úr A í B er ritað <math>f: A \to B</math>, tengsl á milli þessa mengja er þess eðlis eins og lýst er að ofan, <math>x \in A</math> hefur aðeins eitt gildi, þ.e. fallgildið <math>y \in B</math>, sem að við ritum sem <math>f(x)</math>. Segjum að A og B séu rauntölnamengi og við viljum finna fallgildið af 2 þar sem að fallið er <math>f(x)=x^2</math>, þá ritum við sem svo: <math>f(2) = 2^2 = 4 = y</math> þar með höfum við fundið fallgildið sem er fjórir. Hægt er að lýsa tengslum mengja með grafi, þar sem að ''x'' og ''y'' eru hnit í hnitakerfi.
+Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.
+Við að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>.
-Ef eitt stak í skilgreiningarmengi á sér tvö eða fleiri tengd stök í bakmenginu er ''ekki'' talað um fall, heldur marggilt fall eða kvíslað fall (dæmi um margilt fall er: <math>y^2 = x^3</math>).
+[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. Formlega táknum við fall <math> f <\math> með formengi <math> A <\math> og bakmengi <math> B <\math> með <math>f: A \to B<\math>. Fall <math> f <\math> úthlutar þá sérhverju staki <math> x \in A <\math> nákvæmlega einu staki í <math> B <\math> sem við táknum með <math> f(x) <\math> og segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr <math> B <\math> fallið tekur í sérhverju staki í <math> A <\math>. Athugið að fleiri en eitt stak í <math> A <\math> geta tekið sama gildið í <math> B <\math>.
-Sé myndmengi falls talnamengi kallast það einfaldlega fall. Sé myndmengið mengi af vigrum er það kallað [[Vigur (stærðfræði)|vigurgilt fall]]. Ef að formengi vörpunar er ekki talnamengi er vörpunin ekki fall. Föll, sem skilgreind eru á [[tvinntala|tvinntalnasléttunni]] eða [[hlutmengi]] hennar, kallast '''tvinngild föll'''.
+Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls <math> f <\math> eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar <math> f <\math> sérhverri rauntölu <math> x <\math> annarri rauntölu, sem er þá táknuð <math> f(x) <\math>. Við segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>.
+[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls <math> f <\math> mengi allra staka <math> x <\math> í bakmengi <math> f <\math> þ.a. til er <math> x <\math> í formangi <math> f <\math> þ.a. <math> f(x) = y <\math>.
+Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt.
+Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið.
+Fall er sagt gagntækt ef það er bæði átækt og eintækt.
+Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð ''x'' er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast f
 === Tákn ===
@@ Lína 20: / Lína 28: @@
 Bakmengi fallsins <math>f</math> er <math>B</math>
+==Algeng föll==
+===Fastaföll===
+Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := 1 <\math>, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.
+===Margliðuföll===
+Margliðuföll eru af gerðinni <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 <\math> þar sem <math> n <\math> er [[náttúrleg tala]] og <math> a_1,...a_n <\math> eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er [[raunfall]] eða [[tvinnfall]].
 == Myndræn líking ==