Innfeldi

Innfeldi er, í stærðfræði tvílínulegur virki sem er skilgreindur á vigurrúmum. Það er stundum einnig kallað punktmargfeldi eða depilmargfeldi, og er ýmist táknuð með tveimur oddklofum, $\langle a,b\rangle$, eða með punkti, $a\cdot b$. Vigurrúm ásamt innfeldi er kallað innfeldisrúm.

Innfeldi verður að uppfylla:

1. $\langle a,b\rangle =\langle b,a\rangle$ (víxlregla)
2. $\langle a,(b+c)\rangle =\langle a,b\rangle +\langle a,c\rangle$ (dreifiregla)
3. $r\langle a,b\rangle =\langle ra,b\rangle =\langle a,rb\rangle$ (tengiregla)
4. $\langle a,a\rangle \geq 0$, og $\langle a,a\rangle =0$ ef og aðeins ef $a=0$ (jákvæðni)

Rauntalnarúm

Venjulega innfeldið á $\mathbb {R} ^{n}$ er skilgreint þannig:

$a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}$, þar sem ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ og ${\mathbf {b}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$.

Einnig má finna innfeldi tveggja vigra með því að margfalda saman lengdir þeirra og cosínus af horninu milli þeirra:

$a\cdot b=\|a\|\|b\|cos(\theta )$, þar sem $\theta$ er hornið milli vigranna a og b.

Einnig er algengt að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef hnit þeirra eru þekkt. Það má gera svona:

$a\cdot b=\|a\|\|b\|cos(\theta )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\Rightarrow cos(\theta )={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \over \|a\|\|b\|}$. Hér táknar $\|a\|$ táknar lengd vigursins a.

Mikilvægur eiginleiki innfelda er að innfeldi hornréttra vigra er núll. Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn $cos(\theta )$ verður núll þegar $\theta =90^{\circ }+180^{\circ }k$ þar sem $k\in Z$