„Samfelldni“: Munur á milli breytinga
→Samfelldni í firðrúmi: táknmál |
|||
Lína 14: | Lína 14: | ||
Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>. |
Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>. |
||
Fyrir venjulegu firðina ''d''(''x'',''y'') = |''x'' - ''y''| á [[rauntala|rauntalnaásnum]] er skilgreiningin jafngild sígildri |
Fyrir venjulegu firðina ''d''(''x'',''y'') = |''x'' - ''y''| á [[rauntala|rauntalnaásnum]] er skilgreiningin jafngild sígildri |
||
"<math> \epsilon - \delta </math>" skilgreiningu á samfelldni, sem sett er fram með eftirfarandi hætti: |
|||
<math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A : |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon.</math> |
<math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A : |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon.</math> |
Útgáfa síðunnar 12. ágúst 2009 kl. 08:49
Samfelldni er mikilvægt hugtak í örsmæðarreikningi og grannfræði. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.
Samfelldni raungilds falls
Raungilt fall , sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.
- .
Samfelldni í grannrúmi
Fyrir almennt grannrúm gildir að fall er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi gildir að er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. .
Samfelldni í firðrúmi
Ef eru firðrúm er fallið sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. .
Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri
"" skilgreiningu á samfelldni, sem sett er fram með eftirfarandi hætti: