Staðall (stærðfræði)

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði á við tiltekið fall, táknað með ||•||, sem verkar á stök vigurrúms (vigra) og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll.

Algengir staðlar vigurrúma

• Evklíðski staðllinn

$\|\mathbf {x} \|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

er algengasti staðallinni í Rⁿ. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

• 1-staðllinn

$\|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

• p-staðallinn

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

• Óendanlegi staðallinn

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).$

Línlegar varpanir

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpum A má reikna staðal staks x þannig:

$\|Ax\|.$

Eiginleikar staðla

Tveir staðlar ||•||_α og ||•||_β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

$C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }$

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru $l_{1}$, $l_{2}$ og $l_{\infty }$ staðlarnir jafngildir í $\mathbb {R} ^{n}$:

$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$

$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }$

$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty }$

Tengt efni

• Banach-rúm
• Fullkomið mengi