Algebruleg grannfræði

Hjólflötur (e. torus), eitt af algengari viðfangsefnum algebrulegrar grannfræði

Algebruleg grannfræði er grein stærðfræðinnar sem sem hnýtir saman hugmyndir úr abstrakt algebru og grannfræði til að rannsaka grannrúm, eins og kúlur, hringskífur, varpsléttuna, Möbiusarræmuna eða Klein-flöskuna.

Nokkrar greinar

Hér fyrir neðan eru nokkrar greinar stærðfræðinnar sem heyra undir algebrulega grannfræði:

Óhlutbundnir hyrnuklasar (e. Abstract simplicial complexes)

Óhlutbundinn hyrnuklasi (ÓHK) er mengi af endanlegum mengjum þannig að sérhvert hlutmengi í staki mengisins er stak í menginu. Ef stærsta mengið í ÓHK-anum er af stærð $n+1$ þá segjum við að hyrnuklasinn sé $n$-víður. Hlutklasar eru skilgreindir á eðlilegan máta. Stak í hyrnuklasa sem inniheldur eitt stak nefnist hnútur, ef það inniheldur tvö stök nefnist það leggur, ef það inniheldur þrjú stök nefnist það þríhyrningur, o.s.frv. Almennt er talað um $k$-hyrning. Einfalt dæmi um tvívíðan ÓHK sem inniheldur einn þríhyrning, tvo leggi og fjóra punkta er${\mathcal {A}}=\{\{0,1,2\},\{2,3\},\{1,2\}\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\emptyset \}$. Þessa framsetningu getum við notað til að tákna $n$-víða hringskífu, $\mathbb {D} ^{n}=2^{\{0,1,\dots ,n\}}$, og $n$-víða kúlu, $\mathbb {S} ^{n}=\mathbb {D^{n+1}} \setminus \{\{0,1,\dots ,n+1\}\}$. Við getum einnig notað þessa framsetningu fyrir Möbiusarræmuna, Klein-flöskuna og fleiri grannrúm.

Endanlegur ÓHK ${\mathcal {A}}$ nefnist yfirborð ef fyrir alla hnúta þess $v$ er mengið${\text{Lk}}_{\mathcal {A}}(v)=\{\tau \in {\mathcal {A}}:v\notin \tau ,\tau \cup \{v\}\in {\mathcal {A}}\}$hringnet eða bilanet. Jaðar yfirborðs er spannað ef leggjum sem mætast í nákvæmlega einum þríhyrning. Yfirborð er sagt án jaðars ef ${\text{Lk}}_{\mathcal {A}}(v)$ er hringnet fyrir alla hnúta $v$.

Eðlilegt er að skilgreina áttun á þríhyrninga og er sagt að yfirborð sé áttanlegt ef það má skilgreina áttum á alla þríhyrninga þannig að leggir sem mætast í tveimur þríhyrningum fá andstæða áttun, þ.e. áttun annars þríhyrningsins fer á móti áttun hins meðfram leggnum. Möbiusarræman hefur enga áttun og má raunar sína að yfirborð er óáttanlegt ef og aðeins ef Möbiusarræman er hlutklasi í jafngildu yfirborði.

Toggrúpur (e. Homotopy groups)

Toggrúpur eru notaðar í algebrulegri grannfræði til að flokka grannrúm. Einfaldasta toggrúpan er undirstöðugrúpan. Fyrir gefið grannrúm $X$ er undirstöðugrúpan táknuð með $\pi _{1}(X)$. Hún heldur utan um upplýsingar um alla mögulega lokaða ferla um rúmið, og má lesa úr henni fjölda „hola“ í rúminu. Við getum hugsað það þannig að ferillinn ferðast um rúmið og við höldum bókhald utan um það hversu oft hann lykkjast umhverfis sérhverja „holu“ í rúminu. Undirstöðugrúpa hringskífu er fáfengilega grúpan því það eru engar holur en undirstöðugrúpa hrings er einsmóta $\mathbb {Z}$ því þar er nákvæmlega ein hola sem við getum ferðast umhverfis eins oft og okkur sýnist. Sýna má að undirstöðugrúpa hjólflatarins (kleinuhrings) sé einsmóta $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Við þessu var mögulega að búast vegna þess að við getum einkennt lokaða ferla um hjólflötinn með fjölda skipta sem hann ferðast í hringi „ofan á“ hjólfletinum og fjölda skipta sem hann lykkjast umhverfis hliðar hljólflatarins.

Hugmyndin um undirstöðugrúpu grannrúms má rekja aftur til ársins 1894 þegar Poincaré, franskur stærðfræðingur, færði hana í rit og setti sömuleiðis fram Poincaré-tilgátuna. Honum tókst að sanna að ef yfirborð án jaðars hefur sömu undirstöðugrúpu og tvívíða kúlan $\mathbb {S} ^{2}$, það er ef undirstöðugrúpan er fáfengileg, þá er hún grannmóta tvívíðu kúlunnni. Þetta má hugsa þannig að við getum teygt yfirborðið okkar til þannig að það verði að tvívíðri kúlu, án þess að slíta það. Tilgátan hans var síðan hvort hið sama gilti ekki um þrívíðu kúluna. Ekki tókst að sanna þessa tilgáta fyrr en yfir hundrað árum síðar. Það var Rússinn Grigori Perelman sem gerði það og átti hann að fá fyrir afrek sitt Fields-verðlaunin árið 2006. Hins vegar neitaði hann að taka á móti verðlaununum. Perelman hafði áður ákveðið að taka ekki við verðlaunum skildi hann leysa verkefnið þar sem að það eina sem skipti hann máli var að sönnun hans á Poincaré-tilgátunni væri rétt.

Svipfræði (e. Homology)

Svipfræði grannrúma gengur út á að tengja grannrúm við svipfræðilest af frjálsum víxlgrúpum $C_{k}$ sem eru myndaðar úr grannrúminu. Þessar grúpur nefnast keðjugrúpur. Ef grannrúmið okkar er óhlutbundinn hyrnuklasi er $C_{k}$ frjálsa víxlgrúpan á $k$-hyrninga grannrúmsins. Grannrúm þarf ekki endilega að vera hyrnt (e. simplicial) og þá er $C_{k}$ frjálsa víxlgrúpan á allar samfelldar varpanir úr $k$-hyrningi yfir í grannrúmið. Varpanirnar milli grúpanna nefnast jaðarvarpanir og eru táknaðar með $\partial _{k}$. Eins og nafnið gefur til kynna senda jaðarvarpanir $k$-hyrninga í jaðra sína. Jaðarvarpanirnar eru síðan útvíkkaðar línulega.

Hér er brot úr einni slíkri svipfræðilest:

$\cdots \xrightarrow {\partial _{n+2}} C_{n+1}\xrightarrow {\partial _{n+1}} C_{n}\xrightarrow {\partial _{n}} \cdots \xrightarrow {\partial _{2}} C_{1}\xrightarrow {\partial _{1}} C_{0}\rightarrow 0.$

Ef rýnt er í svipfræðilestina má sjá að ${\text{im}}\,\partial _{k+1}\subseteq \ker \partial _{k}$. Því getum við skilgreint $k$-tu svipfræðigrúpuna með $H_{k}=\ker \partial _{k}/{\text{im}}\,\partial _{k+1}$. Svipfræðigrúpurnar gefa okkur upplýsingar um lögun grannrúmsins. Ef $X$ er $n$-vítt grannrúm þá gefur $k$-ta svipfræðigrúpan, fyrir $1\leq k\leq n-1$, upplýsingar um fjölda „$k$-víðra hola“ í rúminu. Svipfræðigrúpan $H_{0}$ mælir fjölda samhengisþátta rúmsins og $H_{n}$ segir til um hvort rúmið sé áttanlegt eða ekki. Ef við táknum hjólflötinn með $T$ þá er$H_{0}(T)\cong \mathbb {Z} ,\,H_{1}(T)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,\,H_{2}(T)\cong \mathbb {Z}$ og $H_{k}(T)\cong 0$ fyrir öll $k\geq 3$. Út frá þessu má lesa að hjólflöturinn hefur einn samhengisþátt, tvær einvíðar holur og er áttanlegur.

Það er yfirleitt einfalt að sjá fyrir sér svipfræði grannrúms en útreikningar geta verið strembnir og innihalda gjarnan vigursvið af hárri vídd og þar af leiðandi fylkjareikning með afar stórum fylkjum. Það er hins vegar hægt að komast hjá þessum útreikningum með því að nýta sér eina af veigameiri setningum sem algebruleg grannfræði hefur upp á að bjóða. Það er fleygaða lest Mayer-Vietoris. Að framkvæma línulega algebru með hjálp fleygaðra lesta hefur orðið að sérstakri grein innan stærðfræðinnar sem nefnist svipalgebra. Mayer-Vietoris setningin segir að fyrir sérhvern ÓHK ${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$ er eftirfarandi lest fleyguð

$\cdots \to H_{n}({\mathcal {A}}\cap {\mathcal {B}})\xrightarrow {i_{n}} H_{n}({\mathcal {A}})\oplus H_{n}({\mathcal {B}})\xrightarrow {j_{n}} H_{n}({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}})\xrightarrow {k_{n}} H_{n-1}({\mathcal {A}}\cap {\mathcal {B}})\to \cdots$