Hjólferill

Hjólferill.

Hjólferill (cýklóða) er sá ferill sem fastur punktur á hring þræðir þegar hringurinn veltur eftir beinni línu án þess að renna til. Þetta er fræg tegund veltiferils þar sem ferillinn er lausn á vandamáli sem Johann Bernoulli setti fram 1696 er nefnist Brachistochrone vandamálið.

Lýsing á ferlinum

Q er miðja hrings, P er punkturinn sem myndar ferilinn og A er skurðpunktur hrings og x-ás.

Látum Q vera miðju hjólsins og radíus þess r. Köllum fastan punkt á hjólinu P og látum A vera skurðpunkt hjólsins og línunnar á hverjum tíma. Hornið $\angle PQA$ köllum við θ. Hjólferill sem hefst í núllpunkti hnitakerfis, þ.e. með P = (0,0) í upphafi, getum við lýst með eftirfarandi stika:

$x = r(\theta - \sin \theta)\,$

$y = r(1 - \cos \theta)\,$

θr gefur x-hnit miðju hjólsins og er jafnframt fjarlægðin frá A til (0,0).

Ferillinn er diffranlegur alls staðar nema í broddunum þar sem ferillinn snertir línuna (x-ásinn). Þetta má auðveldlega sjá með því að diffra hvora jöfnuna fyrir sig í punktinum (2πr,0), það gefur núll.

Bogamál

Bogamál ferilsins má finna með því að finna lengdina á fyrstu afleiðu vigurfallsins og heilda hana.

$(1) \binom{r(\theta-sin\theta)}{r(1-cos\theta)}'= \binom{r(1-cos\theta)}{rsin\theta}$

$(2) \left \| \binom{r(1-cos\theta)}{rsin\theta} \right \| = \sqrt{(r(1-cos\theta))^2 + (rsin\theta)^2} = 2r\left |sin(\frac{\theta}{2})\right |$

$(3)\int_{0}^{2\pi} 2r \left |sin(\frac{\theta}{2})\right | d\theta = 4r \left [-cos(\frac{\theta}{2}) \right ]_0^{2\pi} = 8r$

Þegar hjólið veltur einn hring (2π) fer P eftir hjólferil sem er nákvæmlega 8r að lengd (þar sem r er radíus hjólsins).