Formerkisfall

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Stökkva á: flakk, leita
Formerkisfallið.

Formerkisfall[1][2] er ósamfellt fall, sem tekur gildin − 1 eða 1 eftir formerki breytunnar.

Efnisyfirlit

[breyta] Skilgreining

Þar sem talan núll hefur ekkert formerki er formerkisfall óskilgreint fyrir núll, en stundum er þó eftirfarandi skilgreining notuð, fyrir rauntölur x:

\sgn (x) = \begin{cases} -1 & \text{ef } x < 0, \\ 0 & \text{ef } x = 0, \\ 1 & \text{ef } x > 0. \end{cases}.

Einnig má nota Heavisidefallið H(x) til að skilgreina formerkisfall (nema þegar x = 0):

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1

þar sem | x | er algildi tölunnar x.

[breyta] Eiginleikar

Hægt er að tákna allar rauntölur sem margfeldi tölugildis þeirra og formerkisfallsins:

x = \sgn(x) \cdot |x|\,. \qquad \qquad (1)

Hægt er að sjá frá jöfnu (1) að þegar skilgreiningin hér að ofan er notuð þá fæst

\sgn(x) = {x \over |x|}\,. \qquad \qquad (2), nema þegar x = 0.

Formerkisfallið er líka afleiða tölugildisins:

{d |x| \over dx} = \sgn(x) \,., en er þó óskilgreint fyrir x = 0.

[breyta] Tvinntalnaformerkisfall

Hægt er að rita formerkisfallið fyrir tvinntölur:

\sgn z = \frac{z}{|z|}

fyrir hvert z ∈ \mathbb{C} nema þegar z = 0. Formerkisfall sérhverrar tvinntölu z er sá punktur á einingarhringnum í tvinnsléttunni sem er næst z. Þá, þegar z ≠ 0 gildir:

\sgn z = \exp(i\arg z)\,,

þar sem arg z er fasahorn z.

[breyta] Heimildir

  1. ↑ Ritháttur í Maple
  2. ↑ Orðið „signum function“ á Orðasafni Íslenska Stærðfræðafélagsins
Sótt frá „http://is.wikipedia.org/wiki/Formerkisfall“