Formerkisfall

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Formerkisfallið.

Formerkisfall[1][2] er ósamfellt fall sem tekur gildið -1 þegar breyta þess er neikvæð og 1 þegar breyta þess er jákvæð.

Skilgreining[breyta]

Þar sem talan núll hefur ekkert formerki er formerkisfall óskilgreint fyrir núll, en stundum er þó eftirfarandi skilgreining notuð, fyrir rauntölur x:

 \sgn (x) = \begin{cases}
-1 & \text{ef } x < 0, \\
0 & \text{ef } x = 0, \\
1 & \text{ef } x > 0. \end{cases}.

Einnig má nota Heavisidefallið  H (x) til að skilgreina formerkisfall (nema þegar  x = 0 ):

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1

þar sem  |x| er algildi tölunnar  x .

Eiginleikar[breyta]

Hægt er að tákna allar rauntölur sem margfeldi tölugildis þeirra og formerkisfallsins:

 x = \sgn(x) \cdot |x|\,. \qquad \qquad (1)

Hægt er að sjá frá jöfnu (1) að þegar skilgreiningin hér að ofan er notuð þá fæst

 \sgn(x) = {x \over |x|}\,. \qquad \qquad (2), nema þegar x = 0.

Formerkisfallið er líka afleiða tölugildisins:

 {d |x| \over dx} =  \sgn(x) \,., en er þó óskilgreint fyrir x = 0.

Tvinntalnaformerkisfall[breyta]

Hægt er að rita formerkisfallið fyrir tvinntölur:

\sgn z = \frac{z}{|z|}

fyrir hvert z\mathbb{C} nema þegar z = 0. Formerkisfall sérhverrar tvinntölu z er sá punktur á einingarhringnum í tvinnsléttunni sem er næst z. Þá, þegar z ≠ 0 gildir:

\sgn z = \exp(i\arg z)\,,

þar sem arg z er fasahorn z.

Heimildir[breyta]

  1. Ritháttur í Maple
  2. Orðið „signum function“ á Orðasafni Íslenska Stærðfræðafélagsins