Formerkisfall

Formerkisfallið.

Formerkisfall er ósamfellt fall sem tekur gildið $-1$ þegar breyta þess er neikvæð og $1$ þegar breyta þess er jákvæð.

Skilgreining

Þar sem talan núll hefur ekkert formerki er formerkisfall óskilgreint fyrir núll, en stundum er þó eftirfarandi skilgreining notuð, fyrir rauntölur x:

$\sgn (x) = \begin{cases} -1 & \text{ef } x < 0, \\ 0 & \text{ef } x = 0, \\ 1 & \text{ef } x > 0. \end{cases}$.

Einnig má nota Heavisidefallið $H (x)$ til að skilgreina formerkisfall (nema þegar $x = 0$):

$\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1$

þar sem $|x|$ er algildi tölunnar $x$.

Eiginleikar

Hægt er að tákna allar rauntölur sem margfeldi tölugildis þeirra og formerkisfallsins:

$x = \sgn(x) \cdot |x|\,. \qquad \qquad (1)$

Hægt er að sjá frá jöfnu (1) að þegar skilgreiningin hér að ofan er notuð þá fæst

$\sgn(x) = {x \over |x|}\,. \qquad \qquad (2)$, nema þegar x = 0.

Formerkisfallið er líka afleiða tölugildisins:

${d |x| \over dx} = \sgn(x) \,.$, en er þó óskilgreint fyrir x = 0.

Tvinntalnaformerkisfall

Hægt er að rita formerkisfallið fyrir tvinntölur:

$\sgn z = \frac{z}{|z|}$

fyrir hvert z ∈ $\mathbb{C}$ nema þegar z = 0. Formerkisfall sérhverrar tvinntölu z er sá punktur á einingarhringnum í tvinnsléttunni sem er næst z. Þá, þegar z ≠ 0 gildir:

$\sgn z = \exp(i\arg z)\,,$

þar sem arg z er fasahorn z.