Fjöldatala

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Fjöldatala, fjöldi eða stétt er hugtak í mengjafræði, sem er mælikvarði á fjölda staka í tilteknu mengi M, oft táknuð með | M | eða card( M ).

Stærðræðilegri framsetning á fjöldatölu teljanlegs mengis er að talan n er fjöldatala mengisins A þá og því aðeins að til sé gagntækt fall f á hlutmengi náttúrulegra talna, þ.e. f: A \to \left\{1, ..., n\right\}. Dæmi: talan 3 fjöldatala mengisins A = \left\{ 2, 5, 7 \right\}. Ef slík vörpun finnst ekki þá er mengið A sagt óteljanlegt.

Fjöldatala mengja með óendanlegan fjölda staka táknuð með hebreska tákninu \aleph (framburður alef). Fjöldatala mengi náttúrulegra talnan er táknuð með \aleph_0, sem jafnframt er fjöldatala allra óendanlegra, teljanlegra mengja. Til eru óendanlega mörg talnamengi, sem hafa stærri fjöldatölu en \aleph_0, en þau eru óteljanleg, t.d. mengi rauntalna, sem hefur fjöldataöluna \aleph_1. (Fjöldatala mengis rauntalnanna er stundum nefnd fjöldatala samfellunnar, táknuð með \mathfrak c.)

Augsljóslega gildir að \aleph_0 < \aleph_1, en almennt gildir um fjöldatölur óendanlegra mengja að \aleph_n < \aleph_m, ef n < m. Samfellutilgátan segir að ekki sé til fjöldatala \aleph_x, þ.a. \aleph_0 < \aleph_x < \aleph_1.

Ekki er til nokkurt mengi sem inniheldur allar hugsanlegar fjöldatölur, því veldismengi slíks mengis hefði hærri fjöldatölu en mengið sjálft. Með því að bæta fjöldatölu veldismengisins í mengi allra fjöldatalna, væri komið nýtt mengi með hærri fjöldatölu en uppaflega mengið og síðan koll af kolli.

Fjöldatala er stundum kölluð höfuðtala mengis.