Bolzanosetningin

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Hringurinn sýnir c, bláu línurnar sýna lokaða bilið [a,b].

Bolzanosetningin er setning kennd við tékkneska stærðfræðinginn Bernard Bolzano.

Hún segir að ef að fall f er samfellt á lokuðu bili [a, b], og að f(a) og f(b) hafa gagnstæð formerki, þá sé til tala c á opna bilinu ]a,b[ þannig að f(c) = 0. Orða má setninguna lauslega þannig að ef samfellda fallið skipti um formerki á bilinu, þá skeri það x-ásinn einhvers staðar á bilinu.

Sönnun[breyta]

Hér er notaður sá eiginleiki mengja, sem eru takmörkuð að ofan, að þau hafa efra mark. Gefið sé fall f sem uppfyllir skilyrði setningarinnar, við viljum sýna að það skeri x-ás að minnsta kosti á einum stað. Fallið gæti vitaskuld skorið x-ás á fleiri en einum stað, en við takmörkum leit okkar við þann skurðpunkt á x-ás sem næstur er endapunktinum b. Við getum gert ráð fyrir að f(a) < 0 og f(b) > 0, því ef svo er ekki gætum við litið á -f í stað f. Skilgreinum mengi allra staka úr skilgreiningarmengi f þannig að fallgildin eru neikvæð eða núll:

 A = \{x \in [a,b] : f(x) \leq 0\}

Tökum eftir að þetta mengi er ekki tómt, þar sem f(a) < 0 og því a \in A. Auk þess er það takmarkað að ofan þar sem x \leq b fyrir öll x úr A. Skilgreinum því næst efri mörk A sem c. Sýnum að c hljóti að vera núllstöð fallsins f. Ef f(c) > 0 þá er til \delta > 0 þannig að f(x) > 0 ef c- \delta < x \le > c. Það hefur í för með sér að c - \delta er yfirtala mengisins A, en það er í mótsögn við að c sé efra mark, þ.e. minnsta yfirtala mengisins A. Ef f(c) < 0, þá er til \delta > 0 þannig að f(x) < 0 ef c \le x < c+\delta. Sér í lagi er f(c+\delta/2) < 0 og því c+\delta/2 \in A, en það er í mótsögn við að x \le c fyrir öll x úr A. Eini möguleikin er því að f(c) = 0. Enn fremur er ljóst að c er úr opna bilinu (a,b) vegna þess að f(a) \ne 0 og f(b) \ne 0.